수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2-2번

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_2_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 음함수 f(x,y)=0\displaystyle f(x,y)=0의 꼴로 주어져 있을 때에는 y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 함수로 보고 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분한 후에 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구한다.

● 미분가능한 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 다음이 성립한다.

∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx

[문제 2-2] 모든 자연수 k\displaystyle k에 대하여 다음을 만족시키는 함수 p(x)=ax3+bx2+cx+d\displaystyle p(x)=ax^3+bx^2+cx+d를 구하시오. (단, a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c, d\displaystyle d는 실수이다.) [15점]

∫0π(k2p(x)+4)sin⁡kx dx=0\displaystyle \int_0^\pi(k^2p(x)+4)\sin kx\,dx=0

해설강의 준비중

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_2_2

[문제 2-2]

+3점 · [2-2] ∫0πk2p(x)sin⁡kx dx=k(−1)k+1p(π)+kp(0)+∫0πkp′(x)cos⁡kx dx\displaystyle \int_0^\pi k^2p(x)\sin kx\,dx=k(-1)^{k+1}p(\pi)+kp(0)+\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx

∫0πk2p(x)sin⁡kx dx=[−kp(x)cos⁡kx]0π+∫0πkp′(x)cos⁡kx dx=k(−1)k+1p(π)+kp(0)+∫0πkp′(x)cos⁡kx dx\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi k^2p(x)\sin kx\,dx&=\Biggl[-kp(x)\cos kx\Biggr]_0^\pi+\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx\\&=k(-1)^{k+1}p(\pi)+kp(0)+\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx\end{aligned}

∫0πkp′(x)cos⁡kx dx=[p′(x)sin⁡kx]0π−∫0πp′′(x)sin⁡kx dx=−∫0πsin⁡kx (6ax+2b) dx\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx&=\Biggl[p^{\prime}(x)\sin kx\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi p^{\prime\prime}(x)\sin kx\,dx\\&=-\int_0^\pi\sin kx\,(6ax+2b)\,dx\end{aligned}

+3점 · [2-2] ∫0πkp′(x)cos⁡kx dx=−∫0πsin⁡kx (6ax+2b) dx\displaystyle \int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx=-\int_0^\pi\sin kx\,(6ax+2b)\,dx, ∫0πsin⁡kx (6ax+2b) dx=(−1)k+1k(6aπ+2b)+2bk\displaystyle \int_0^\pi\sin kx\,(6ax+2b)\,dx=\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k

이다. 또한 ∫0πsin⁡kx (6ax+2b) dx=(−1)k+1k(6aπ+2b)+2bk\displaystyle \int_0^\pi\sin kx\,(6ax+2b)\,dx=\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k이고 4∫0πsin⁡kx dx=4k(1−(−1)k)\displaystyle 4\int_0^\pi\sin kx\,dx=\frac4k(1-(-1)^k)이므로 정리하면

+3점 · [2-2] 정리하면 k(−1)kp(π)−kp(0)+(−1)k+1k(6aπ+2b)+2bk+4k((−1)k−1)=0\displaystyle k(-1)^kp(\pi)-kp(0)+\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k+\frac4k((-1)^k-1)=0

k(−1)kp(π)−kp(0)+(−1)k+1k(6aπ+2b)+2bk+4k((−1)k−1)=0\displaystyle k(-1)^kp(\pi)-kp(0)+\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k+\frac4k((-1)^k-1)=0이다.

+3점 · [2-2] k\displaystyle k 짝수일 때 k2(p(π)−p(0))−6aπ=0\displaystyle k^2(p(\pi)-p(0))-6a\pi=0이므로 a=0\displaystyle a=0, bπ2+cπ=0\displaystyle b\pi^2+c\pi=0

k\displaystyle k 짝수일 때 k2(p(π)−p(0))−6aπ=0\displaystyle k^2(p(\pi)-p(0))-6a\pi=0이므로 a=0\displaystyle a=0, bπ2+cπ=0\displaystyle b\pi^2+c\pi=0이 나온다.

+3점 · [2-2] k\displaystyle k 홀수일 때 k2(p(π)+p(0))−(4b−8)=0\displaystyle k^2(p(\pi)+p(0))-(4b-8)=0이므로 b=2\displaystyle b=2, bπ2+cπ+2d=0\displaystyle b\pi^2+c\pi+2d=0. 정답: p(x)=2x2−2πx\displaystyle p(x)=2x^2-2\pi x

k\displaystyle k 홀수일 때 k2(p(π)+p(0))−(4b−8)=0\displaystyle k^2(p(\pi)+p(0))-(4b-8)=0이므로 b=2\displaystyle b=2, bπ2+cπ+2d=0\displaystyle b\pi^2+c\pi+2d=0이고 위에서 구한 것과 같이 생각해보면 a=0\displaystyle a=0, b=2\displaystyle b=2, c=−2π\displaystyle c=-2\pi, d=0\displaystyle d=0이다.따라서 p(x)=2x2−2πx\displaystyle p(x)=2x^2-2\pi x이다.

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