수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 3-1번

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_3_1

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문제

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 수열 a1\displaystyle a_1, a2\displaystyle a_2, a3\displaystyle a_3, ⋯\displaystyle \cdots an\displaystyle a_n, ⋯\displaystyle \cdots이 첫째항 a1\displaystyle a_1에서 시작하여 차례대로 일정한 수 d\displaystyle d를 더하여 얻은 수열일 때, 이 수열을 등차수열이라고 하고, 그 일정한 수 d\displaystyle d를 공차라고 한다.

● 평면 위의 두 점 F, F′으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 하며, 두 점 F, F′을 타원의 초점이라고 한다.

[문제 3-1] 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이 다음 조건을 만족시킬 때, a254\displaystyle a_{254}의 값을 구하시오. (단, {an}\displaystyle \{a_n\}의 공차는 양의 실수이다.) [10점]

(가) a2n−bn=3  (n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a_{2n}-b_n=3\;(n=1,2,3,\cdots)

(나) b1=756\displaystyle b_1=756

(다) ∑n=111an2=∑n=111(bn−an)2\displaystyle \sum_{n=1}^{11}a_{n^2}=\sum_{n=1}^{11}(b_n-a_n)^2

해설강의 준비중

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_3_1

[문제 3-1]

+2점 · [3-1] 두 수열이 an=cn+d\displaystyle a_n=cn+d, bn=en+f\displaystyle b_n=en+f 꼴임을 제시하면 +2점 · [3-1] 2cn+d−3=en+f\displaystyle 2cn+d-3=en+f로부터 항등식의 성질을 이용해 2c=e\displaystyle 2c=e, d−3=f\displaystyle d-3=f를 얻으면

{an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이 등차수열이므로 an=cn+d\displaystyle a_n=cn+d, bn=en+f\displaystyle b_n=en+f 꼴이다. 조건 (가)에서 2cn+d−3=en+f\displaystyle 2cn+d-3=en+f가 모든 자연수 n\displaystyle n에 대해 성립하므로 이는 항등식이고, 따라서 2c=e\displaystyle 2c=e, d−3=f\displaystyle d-3=f를 얻는다.

+4점 · [3-1] 수열의 합 공식을 이용하고 이차방정식을 풀어 c=5\displaystyle c=5를 얻으면

한편, 조건 (다)로부터 ∑n=111(cn2+d)=∑n=111(cn−3)2\displaystyle \sum_{n=1}^{11}(cn^2+d)=\sum_{n=1}^{11}(cn-3)^2를 얻고, ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2를 이용하면 506c2−902c+99−11d=11(46c2−82c+9−d)=0\displaystyle 506c^2-902c+99-11d=11(46c^2-82c+9-d)=0을 얻는다. 한편, 조건 (나)에서 2c+d−3=756\displaystyle 2c+d-3=756을 얻고, 이를 대입하면 46c2−80c−750=2(23c2−40c−375)=0\displaystyle 46c^2-80c-750=2(23c^2-40c-375)=0을 얻는다. 인수분해 혹은 근의 공식을 쓰면, c=−7523,5\displaystyle c=-\frac{75}{23},5를 얻고, c>0\displaystyle c>0이므로 c=5\displaystyle c=5이다.

+2점 · [3-1] a254=2019\displaystyle a_{254}=2019를 얻으면

따라서 d=759−2c=749\displaystyle d=759-2c=749이고, a254=254c+d=1270+749=2019\displaystyle a_{254}=254c+d=1270+749=2019이다.

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