자연계열 II 2번

그래프를 그려보면 $\displaystyle f(t)<0<g(t)<t+1<h(t)$임을 알 수 있다. 부분 적분하여 아래 식을 구할 수 있다.$\displaystyle \int_0^1tg^{\prime\prime}\,dt=\Biggl[tg^{\prime}\Biggr]_0^1-\int_0^1g^{\prime}\,dt=g^{\prime}(1)-g(1)+g(0).$

$\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle 4x^3-6x^2+1=(2x-1)(2x^2-2x-1)=0$이므로 $\displaystyle g(0)=\frac12$이다.$\displaystyle t=1$에서 $\displaystyle 4x^3-12x^2+8=4(x-1)(x^2-2x-2)=0$이므로 $\displaystyle g(1)=1$이다.

$\displaystyle g^{\prime}(1)$을 구하자. $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle 4g^3(t)-6(t+1)g^2(t)+7t^2+1=0$을 만족한다. 식을 음함수 미분하고 $\displaystyle t=1$ 대입하면 $\displaystyle 6g^2(1)g^{\prime}(1)-3g^2(1)-12g(1)g^{\prime}(1)+7=0$을 얻고, $\displaystyle g^{\prime}(1)=\frac23$이다. 주어진 적분 값은 $\displaystyle \int_0^1tg^{\prime\prime}\,dt=\frac23-1+\frac12=\frac16$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi k^2p(x)\sin kx\,dx&=\Biggl[-kp(x)\cos kx\Biggr]_0^\pi+\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx\\&=k(-1)^{k+1}p(\pi)+kp(0)+\int_0^\pi kp^{\prime}(x)\cos kx\,dx\end{aligned}$

이다. 또한 $\displaystyle \int_0^\pi\sin kx\,(6ax+2b)\,dx=\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k$이고 $\displaystyle 4\int_0^\pi\sin kx\,dx=\frac4k(1-(-1)^k)$이므로 정리하면

$\displaystyle k(-1)^kp(\pi)-kp(0)+\frac{(-1)^{k+1}}k(6a\pi+2b)+\frac{2b}k+\frac4k((-1)^k-1)=0$이다.

$\displaystyle k$ 짝수일 때 $\displaystyle k^2(p(\pi)-p(0))-6a\pi=0$이므로 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b\pi^2+c\pi=0$이 나온다.

$\displaystyle k$ 홀수일 때 $\displaystyle k^2(p(\pi)+p(0))-(4b-8)=0$이므로 $\displaystyle b=2$, $\displaystyle b\pi^2+c\pi+2d=0$이고 위에서 구한 것과 같이 생각해보면 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle c=-2\pi$, $\displaystyle d=0$이다.따라서 $\displaystyle p(x)=2x^2-2\pi x$이다.