중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 수열 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_3$ , $\displaystyle \cdots$ $\displaystyle a_n$ , $\displaystyle \cdots$ 이 첫째항 $\displaystyle a_1$ 에서 시작하여 차례대로 일정한 수 $\displaystyle d$ 를 더하여 얻은 수열일 때, 이 수열을 등차수열이라고 하고, 그 일정한 수 $\displaystyle d$ 를 공차라고 한다.

● 평면 위의 두 점 F, F′으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 하며, 두 점 F, F′을 타원의 초점이라고 한다.

[문제 3-2] 점 P가 좌표평면의 원점에 있고 점 Q $\displaystyle (2t,0)$ 가 $\displaystyle x$ 축 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}+\overline{\mathrm{RQ}}=20$ 이고, 각 PRQ가 $\displaystyle \frac\pi3$ 가 되는 제1사분면 위의 점들 중 $\displaystyle x$ 좌표가 가장 큰 점을 R $\displaystyle (x(t),y(t))$ 라 하자. $\displaystyle t=2\sqrt7$ 일 때, 점 R에서의 접선의 기울기를 구하시오. [15점]

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_3_2

[문제 3-2]

+5점 · [3-2] 점 R이 곡선

\displaystyle \frac{(x-t)^2}{10^2}+\frac{y^2}{10^2-t^2}=1

위에 있고 곡선

\displaystyle (x-t)^2+\left(y-\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3

또는

\displaystyle (x-t)^2+\left(y+\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3

위의 점임을 제시하면

점 R는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}+\overline{\mathrm{RQ}}=20$ 을 만족하는 점이고 P $\displaystyle (0,0)$ , Q $\displaystyle (2t,0)$ 이므로, R은 곡선 $\displaystyle \frac{(x-t)^2}{10^2}+\frac{y^2}{10^2-t^2}=1$ 위의 점이다. 한편, 각 PRQ가 $\displaystyle \frac\pi3$ 라는 조건에서 $\displaystyle \tan\frac\pi3=\left|\frac{2ty}{x(x-2t)+y^2}\right|$ 를 얻고, 이를 정리하면 점 R는 곡선 $\displaystyle (x-t)^2+\left(y-\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3$ 또는 $\displaystyle (x-t)^2+\left(y+\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3$ 위의 점임을 알 수 있다.

+5점 · [3-2] 계산하고 문제의 조건을 이용해 좌표 R

\displaystyle \left(t+\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)

를 제시하면

이 두 관계를 연립하여 계산하는 과정에서 $\displaystyle y>0$ 을 이용하면 가능한 좌표는 $\displaystyle \left(t\pm\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$ 또는 $\displaystyle \left(t\pm\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,-\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$ 임을 알 수 있고, 조건에 의하여 R의 좌표는 R $\displaystyle \left(t+\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$ 임을 알 수 있다.

+5점 · [3-2] 미분하여

\displaystyle x^{\prime}(t)=1-\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}{t^2}+\frac{20}{\sqrt3}\frac1{\sqrt{t^2-25}}

,

\displaystyle y^{\prime}(t)=\frac1{\sqrt3}-\frac{100}{\sqrt3}\frac1{t^2}

을 얻고

\displaystyle t=2\sqrt7

를 대입하여

\displaystyle -\frac{16\sqrt3}{73}

을 얻으면

Correction. [3-2] 대학 답안과 채점기준에서 $\displaystyle y^{\prime}(t)$ 의 첫 항 $\displaystyle 1/\sqrt3$ 은 $\displaystyle -1/\sqrt3$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

미분하면 $\displaystyle x^{\prime}(t)=1-\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}{t^2}+\frac{20}{\sqrt3}\frac1{\sqrt{t^2-25}}$ , $\displaystyle y^{\prime}(t)=\frac1{\sqrt3}-\frac{100}{\sqrt3}\frac1{t^2}$ 에서 $\displaystyle \frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=-\frac{(t^2+100)\sqrt{t^2-25}}{\sqrt3t^2\sqrt{t^2-25}+500}$ 이다. $\displaystyle t=2\sqrt7$ 를 대입하면 $\displaystyle \frac{y^{\prime}(2\sqrt7)}{x^{\prime}(2\sqrt7)}=\frac{-\frac{32}{7\sqrt3}}{\frac{146}{21}}=-\frac{16\sqrt3}{73}$ 이다.Correction. [3-2] 대학 답안과 채점기준에서 $\displaystyle y^{\prime}(t)$ 의 첫 항 $\displaystyle 1/\sqrt3$ 은 $\displaystyle -1/\sqrt3$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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자연계열 II 3-2번

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