자연계열 II 3번

$\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$이 등차수열이므로 $\displaystyle a_n=cn+d$, $\displaystyle b_n=en+f$ 꼴이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle 2cn+d-3=en+f$가 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 성립하므로 이는 항등식이고, 따라서 $\displaystyle 2c=e$, $\displaystyle d-3=f$를 얻는다.

한편, 조건 (다)로부터 $\displaystyle \sum_{n=1}^{11}(cn^2+d)=\sum_{n=1}^{11}(cn-3)^2$를 얻고, $\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$, $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$를 이용하면 $\displaystyle 506c^2-902c+99-11d=11(46c^2-82c+9-d)=0$을 얻는다. 한편, 조건 (나)에서 $\displaystyle 2c+d-3=756$을 얻고, 이를 대입하면 $\displaystyle 46c^2-80c-750=2(23c^2-40c-375)=0$을 얻는다. 인수분해 혹은 근의 공식을 쓰면, $\displaystyle c=-\frac{75}{23},5$를 얻고, $\displaystyle c>0$이므로 $\displaystyle c=5$이다.

따라서 $\displaystyle d=759-2c=749$이고, $\displaystyle a_{254}=254c+d=1270+749=2019$이다.

점 R는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}+\overline{\mathrm{RQ}}=20$을 만족하는 점이고 P$\displaystyle (0,0)$, Q$\displaystyle (2t,0)$이므로, R은 곡선 $\displaystyle \frac{(x-t)^2}{10^2}+\frac{y^2}{10^2-t^2}=1$ 위의 점이다. 한편, 각 PRQ가 $\displaystyle \frac\pi3$라는 조건에서 $\displaystyle \tan\frac\pi3=\left|\frac{2ty}{x(x-2t)+y^2}\right|$를 얻고, 이를 정리하면 점 R는 곡선 $\displaystyle (x-t)^2+\left(y-\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3$ 또는 $\displaystyle (x-t)^2+\left(y+\frac t{\sqrt3}\right)^2=\frac{4t^2}3$ 위의 점임을 알 수 있다.

이 두 관계를 연립하여 계산하는 과정에서 $\displaystyle y>0$을 이용하면 가능한 좌표는 $\displaystyle \left(t\pm\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$ 또는 $\displaystyle \left(t\pm\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,-\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$임을 알 수 있고, 조건에 의하여 R의 좌표는 R$\displaystyle \left(t+\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}t,\frac1{\sqrt3}\left(\frac{100}t-t\right)\right)$임을 알 수 있다.

미분하면 $\displaystyle x^{\prime}(t)=1-\frac{20}{\sqrt3}\frac{\sqrt{t^2-25}}{t^2}+\frac{20}{\sqrt3}\frac1{\sqrt{t^2-25}}$, $\displaystyle y^{\prime}(t)=\frac1{\sqrt3}-\frac{100}{\sqrt3}\frac1{t^2}$에서 $\displaystyle \frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=-\frac{(t^2+100)\sqrt{t^2-25}}{\sqrt3t^2\sqrt{t^2-25}+500}$이다. $\displaystyle t=2\sqrt7$를 대입하면 $\displaystyle \frac{y^{\prime}(2\sqrt7)}{x^{\prime}(2\sqrt7)}=\frac{-\frac{32}{7\sqrt3}}{\frac{146}{21}}=-\frac{16\sqrt3}{73}$이다.Correction. [3-2] 대학 답안과 채점기준에서 $\displaystyle y^{\prime}(t)$의 첫 항 $\displaystyle 1/\sqrt3$은 $\displaystyle -1/\sqrt3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.