중앙대 2021학년도 수시 자연계열 I 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(x)\ge0$ 이면, 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , 직선 $\displaystyle x=a$ , 직선 $\displaystyle x=b$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타낸다.

● 각 $\displaystyle \theta_1$ 과 $\displaystyle \theta_2$ 에 대하여 $\displaystyle \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2$ 가 성립한다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

[문제 2-1] 원점을 지나는 두 직선 $\displaystyle l_1$ 과 $\displaystyle l_2$ 는 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이고 제1사분면에서 각 $\displaystyle \theta$ 를 이루고 있다. 제1사분면에서 직선 $\displaystyle l_1$ 과 $\displaystyle l_2$ 와 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$ 을 경계로 하는 영역의 넓이를 $\displaystyle f(\theta)$ 라고 할 때, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2$ 를 만족하는 $\displaystyle \theta$ 를 구하시오. [10점]

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon1_2_1

[문제 2-1]

+5점 · 영역을 정적분으로 표현한 후 정적분 값

\displaystyle -\ln\left(\tan\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right)

를 얻으면

직선 $\displaystyle l_1$ 과 $\displaystyle x$ 축이 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$ 라고 하자. (이때, $\displaystyle \alpha=\frac\pi4-\frac\theta2$ 이다.) $\displaystyle y=(\tan\alpha)x$ 와 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$ 이 만나는 점 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt{\tan\alpha}},\sqrt{\tan\alpha}\right)$ 을 구한 후, 그림을 그려 $\displaystyle y=x$ 아래의 넓이

$\displaystyle \frac12+\int_1^{1/\sqrt{\tan\alpha}}\frac1x\,dx-\frac12\frac1{\sqrt{\tan\alpha}}\sqrt{\tan\alpha}=-\frac12\ln(\tan\alpha)$

를 구한다. 따라서 영역의 전체 넓이는

$\displaystyle f(\theta)=-\ln(\tan\alpha)=-\ln\left(\tan\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\right)$

+5점 · 합성함수의 미분법을 활용하여

\displaystyle \theta=\frac\pi3

를 얻으면

이다. 합성함수의 미분법을 이용하여 $\displaystyle f$ 의 도함수

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\theta)&=-\frac1{\tan\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)}\sec^2\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\left(-\frac12\right)\\&=\frac1{2\sin\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)\cos\left(\frac\pi4-\frac\theta2\right)}=\frac1{\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)}=\frac1{\cos\theta}\end{aligned}$

계산하여 정답 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$ 를 얻는다.

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자연계열 I 2-1번

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