자연계열 I 1번

$\displaystyle \begin{aligned}x&=P\{(p\cap s)\cup(q\cap r)\}\\&=P\{(p\cap s)\}+P\{(q\cap r)\}\\&\quad-P\{p\cap q\cap r\cap s\}\\&=P\{p\}P\{s\}+P\{q\}P\{r\}\\&\quad-P\{p\}P\{q\}P\{r\}P\{s\}\\&=\frac14+\frac14-\frac1{16}=\frac7{16}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}y&=P\{(p\cup q)\cap(r\cup s)\}\\&=P\{p\cup q\}\times P\{r\cup s\}\\&=[P\{p\}+P\{q\}-P\{p\cap q\}]\\&\quad\times[P\{r\}+P\{s\}-P\{r\cap s\}]\\&=[P\{p\}+P\{q\}-P\{p\}P\{q\}]\\&\quad\times[P\{r\}+P\{s\}-P\{r\}P\{s\}]\\&=\frac34\times\frac34=\frac9{16}\end{aligned}$

$\displaystyle \left(10\times\frac{y-x}{x}\times100\%\right)-50=\left\{10\times\left(\frac27\times100\%\right)\right\}-50=\frac{1650}7\approx235.71$(만 원).

※ 문제에서의, ‘1% 증가’를 ‘1%p 증가’로 해석한 경우, 이익의 증가액은 다음과 같다. 이 경우도 정답으로 간주한다.

$\displaystyle \{10\times(y-x)\times100\%\}-50=\left\{10\times\left(\frac2{16}\times100\%\right)\right\}-50=125-50=75$(만 원).

※ 참고: 아래와 같이 모든 경우를 나열하여 확률$\displaystyle (x,y)$ 및 확률의 증가값$\displaystyle (y-x)$를 계산할 수 있다.