자연계열 I 1번

$\displaystyle \begin{aligned}x&=P\{(p\cap s)\cup(q\cap r)\}\\&=P\{(p\cap s)\}+P\{(q\cap r)\}\\&\quad-P\{p\cap q\cap r\cap s\}\\&=P\{p\}P\{s\}+P\{q\}P\{r\}\\&\quad-P\{p\}P\{q\}P\{r\}P\{s\}\\&=\frac14+\frac14-\frac1{16}=\frac7{16}\end{aligned}$

$\displaystyle \left(10\times\frac{y-x}{x}\times100\%\right)-50=\left\{10\times\left(\frac27\times100\%\right)\right\}-50=\frac{1650}7\approx235.71$(만 원).Caution. 확률 $\displaystyle p$는 백분율로 $\displaystyle (100p)\%$이고, $\displaystyle q\%$는 확률값 $\displaystyle \frac{q}{100}$을 뜻한다: 확률의 증가율 $\displaystyle \frac27$을 백분율로 나타내면 $\displaystyle \left(\frac27\times100\right)\%$이다. 1% 증가할 때마다 수익이 10만 원 늘어나므로 이익의 증가액은 $\displaystyle 10\times\frac27\times100-50=\frac{1650}{7}$(만 원)이다. 원문처럼 $\displaystyle 100\%$를 곱하면 $\displaystyle 100\%=1$이므로 제시한 등식이 성립하지 않는다. 백분율의 수치에 수익을 곱하는 단계에서는 $\displaystyle 100\%$가 아니라 $\displaystyle 100$을 곱해야 하며, 최종 금액은 이 계산에 따른 값으로 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 문제에서의, ‘1% 증가’를 ‘1%p 증가’로 해석한 경우, 이익의 증가액은 다음과 같다. 이 경우도 정답으로 간주한다.Caution. 백분율의 차이는 %p로 나타낸다. 예를 들어 20%에서 30%로 증가하면 10%p 증가한 것이고, 원래 값에 대한 증가율은 50%이다: 이 문제에서는 전류가 흐를 확률이 $\displaystyle \frac7{16}=43.75\%$에서 $\displaystyle \frac9{16}=56.25\%$로 변한다. 두 백분율의 차이는 12.5%p이고, 원래 확률에 대한 증가율은 $\displaystyle \frac{(9/16)-(7/16)}{7/16}=\frac27$, 즉 약 $\displaystyle 28.57\%$이다. 대학 예시답안은 “1% 증가”와 “1%p 증가”로 해석한 두 풀이를 모두 정답으로 인정하므로, 어느 해석에 따라 수익을 계산하는지 구분하여 설명해야 한다.

$\displaystyle \{10\times(y-x)\times100\%\}-50=\left\{10\times\left(\frac2{16}\times100\%\right)\right\}-50=125-50=75$(만 원).Caution. 확률 $\displaystyle p$는 백분율로 $\displaystyle (100p)\%$이고, $\displaystyle q\%$는 확률값 $\displaystyle \frac{q}{100}$을 뜻한다: 원문이 정답으로 인정한 “1%p 증가”의 해석에서는 두 확률의 차가 $\displaystyle \frac2{16}=0.125$이므로 확률이 12.5%p 증가한다. 따라서 이익의 증가액은 $\displaystyle 10\times12.5-50=75$(만 원)이다. 이 증가분의 수치를 구할 때는 $\displaystyle \frac2{16}$에 $\displaystyle 100$을 곱해야 한다. 원문의 $\displaystyle 100\%$는 $\displaystyle 1$과 같으므로 이를 그대로 곱한 식에서 $\displaystyle 75$를 얻을 수는 없다. 최종 금액 $\displaystyle 75$만 원은 $\displaystyle 100$을 곱한 계산에 따른 값으로 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 참고: 아래와 같이 모든 경우를 나열하여 확률$\displaystyle (x,y)$ 및 확률의 증가값$\displaystyle (y-x)$를 계산할 수 있다.