자연계열 I 2-2번

$\displaystyle t=\sqrt{x+1}-1$로 치환하자. 이 때 주어진 함수의 항 중 $\displaystyle \sqrt{x+1}+1$는 유리화하여

를 대입한다. 그 결과는

함수 $\displaystyle g(t)$를 미분을 하여 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)=1-2\sin t$를 구하고 주어진 구간 내에서 도함수가 0이 되는 $\displaystyle t=\frac\pi6,\frac{5\pi}6$를 찾는다. 그리고 사인함수의 개형을 이용하여 함수 $\displaystyle g(t)$가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi6\right)$에서 증가, 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)$에서 감소, 구간 $\displaystyle \left(\frac{5\pi}6,\pi\right)$에서 증가한다는 사실을 확인한다. 따라서 $\displaystyle g(t)$의 최댓값을 찾기 위해서는 주어진 구간의 왼쪽 경계 $\displaystyle t=0$에서의 값과 $\displaystyle t=\frac{5\pi}6$에서의 값만 조사하면 된다.

실제 $\displaystyle g(0)=1$이고 $\displaystyle g\left(\frac{5\pi}6\right)=\frac{5\pi}6-\frac{\sqrt3}2$인데 이 두 값을 비교하여 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle t=\frac{5\pi}6$일 때 얻을 수 있음을 확인한다. (여기서 $\displaystyle \frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt3}2$이 1보다 작다는 것을 파악하기 위해서 가장 간단하게는 $\displaystyle \pi\le3.5$, $\displaystyle \sqrt3\ge1.5$인 것만 이용해도 충분히 확인할 수 있다.) 따라서 정답은 $\displaystyle x=(t+1)^2-1=\left(\frac{5\pi}6+1\right)^2-1$이다.Correction. [2-2] 대학 답안에서 $\displaystyle g(t)$의 최댓값은 최솟값의 오기이다. 정의 $\displaystyle g(t)=t+2\cos t$에 따르면 $\displaystyle g(0)=2$, $\displaystyle g(5\pi/6)=5\pi/6-\sqrt3$이며, 원문은 일부 계산에서 $\displaystyle g(t)/2$의 값을 섞어 적었다. 최솟값을 갖는 t와 최종 답은 같다.