수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 3-1번

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon2_3_1

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문제

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)일 때, 속력은 (f′(t))2+(g′(t))2\displaystyle \sqrt{(f^{\prime}(t))^2+(g^{\prime}(t))^2}이다.

● 직선 y=mx+n\displaystyle y=mx+n이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 하면 tan⁡θ=m\displaystyle \tan\theta=m이다.

● 각 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 다음 식이 성립한다.

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β(단, α≠π2,  β≠π2,  tan⁡αtan⁡β≠1)\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\quad(\text{단, }\alpha\ne\frac\pi2,\;\beta\ne\frac\pi2,\;\tan\alpha\tan\beta\ne1)

[문제 3-1] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가

x=t,y=23(t2−2t+2)32\displaystyle x=t,\quad y=\frac23(t^2-2t+2)^{\frac32}

이다. 점 P의 속력이 최소가 되는 시각을 t0\displaystyle t_0이라 할 때, 시각 t=0\displaystyle t=0에서 시각 t=t0\displaystyle t=t_0까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon2_3_1

[문제 3-1]

+3점 · ∣v∣=1+4(t2−2t+2)(t−1)2\displaystyle |v|=\sqrt{1+4(t^2-2t+2)(t-1)^2} 계산하면

우선 점 P의 속력은 정의로부터 다음과 같다.

∣v∣=1+4(t2−2t+2)(t−1)2\displaystyle |v|=\sqrt{1+4(t^2-2t+2)(t-1)^2}

+4점 · ∣v∣=2(t−1)2+1\displaystyle |v|=2(t-1)^2+1 구하면

루트 내부의 식을 완전 제곱식으로 정리를 하면,

∣v∣=1+4((t−1)2+1)(t−1)2=4(t−1)4+4(t−1)2+1=(2(t−1)2+1)2=2(t−1)2+1\displaystyle \begin{aligned}|v|&=\sqrt{1+4((t-1)^2+1)(t-1)^2}=\sqrt{4(t-1)^4+4(t-1)^2+1}\\&=\sqrt{(2(t-1)^2+1)^2}=2(t-1)^2+1\end{aligned}

+3점 · 적분하여 53\displaystyle \frac53 구하면

이다. 따라서 속력이 최소인 시각 t0\displaystyle t_0은 1이다. 마지막으로 위에서 얻은 속력에 대한 식을 적분하여 점 P의 이동거리를 구한다.

∫012(t−1)2+1 dt=(23(1−1)3+1)−(23(0−1)3+0)=53\displaystyle \int_0^12(t-1)^2+1\,dt=\left(\frac23(1-1)^3+1\right)-\left(\frac23(0-1)^3+0\right)=\frac53

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