자연계열 II 3번

[문제 3-1]

$\displaystyle |v|=\sqrt{1+4(t^2-2t+2)(t-1)^2}$

$\displaystyle \begin{aligned}|v|&=\sqrt{1+4((t-1)^2+1)(t-1)^2}=\sqrt{4(t-1)^4+4(t-1)^2+1}\\&=\sqrt{(2(t-1)^2+1)^2}=2(t-1)^2+1\end{aligned}$

$\displaystyle \int_0^12(t-1)^2+1\,dt=\left(\frac23(1-1)^3+1\right)-\left(\frac23(0-1)^3+0\right)=\frac53$

[문제 3-2]

$\displaystyle \frac{|x_0\tan\theta-y_0|}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}=\frac{|x_0\tan\theta-x_0\tan(2\theta)|}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$

$\displaystyle \frac12\frac{|\tan\theta-\tan(2\theta)|}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}|x|=\frac{|\tan\theta-\tan(2\theta)|}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}\frac1{\sqrt{4+\tan^2(2\theta)}}$

이고 $\displaystyle \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$을 이용하여 정리하면 $\displaystyle \frac12\frac{\tan\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}}{\sqrt{(1-\tan^2\theta)^2+\tan^2\theta}}$이다. 위 공식에 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$을 대입하면 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2$ 값을 갖고 이것은 직접 구한 삼각형의 넓이와 같다. 삼각형 AOB의 넓이를 나타내는 함수 $\displaystyle f(\theta)$는 아래와 같다.

$\displaystyle f(\theta)=\begin{cases}\frac12\frac{\tan\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}}{\sqrt{(1-\tan^2\theta)^2+\tan^2\theta}}&\left(\theta\ne\frac\pi2\right)\\\frac12&\left(\theta=\frac\pi2\right)\end{cases}$

$\displaystyle f^2=\frac{s(1+s)}{4\{(1-s)^2+s\}}=\frac{s^2+s}{4(s^2-s+1)}$

이고 미분하면 $\displaystyle \frac{-2s^2+2s+1}{4(s^2-s+1)^2}$이다. 따라서 $\displaystyle s=\frac{1+\sqrt3}2$에서 최댓값을 갖고 $\displaystyle M^2=\frac14+\frac{\sqrt3}6=\frac{3+2\sqrt3}{12}$이다.