중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 2-2번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=c$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (c,f(c))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(c)=f^{\prime}(c)(x-c)$ 이다.

● 직선 $\displaystyle y=mx+n$ 이 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라고 하면 $\displaystyle \tan\theta=m$ 이다.

● 각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 에 대하여 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\quad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

[문제 2-2] 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 이등변 삼각형 ABC가 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=x$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=y$ 라 할 때, $\displaystyle x^3e^{-2y}$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]

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[문제 2-2]

+5점 · 이등변 삼각형의 성질을 이용하여 함수

\displaystyle y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}

를 얻으면

각 BAC를 $\displaystyle \alpha$ , 각 ABC를 $\displaystyle \beta$ 라 하자. 사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \sin\alpha=\frac x2$ , $\displaystyle \sin\beta=\frac y2$ 임을 알 수 있다. 그런데 여기서 삼각형 ABC가 이등변 삼각형이므로 $\displaystyle \alpha+2\beta=\pi$ 를 만족하므로 $\displaystyle \sin(2\beta)=\frac x2$ 인데, 이 식에 사인함수의 덧셈공식을 적용하면

$\displaystyle x=2\sin(2\beta)=4\sin\beta\cos\beta=2y\sqrt{1-\frac{y^2}4}=y\sqrt{4-y^2}$

(또는 $\displaystyle y^4-4y^2+x^2=0$ )임을 알 수 있다. 따라서

$\displaystyle x^3e^{-2y}=y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}$

+5점 · 도함수를 계산하여 도함수가 0인

\displaystyle y=1

을 찾으면

이다. 위 식을 $\displaystyle y$ 에 대한 함수로 보고 미분을 하면,

$\displaystyle 2y^2\sqrt{4-y^2}e^{-2y}(y-1)(y^2-2y-6)$

가 된다. $\displaystyle y$ 의 범위가 $\displaystyle 0\le y\le2$ 이므로 구간 내에서 도함수가 0인 경우는 $\displaystyle y=1$ 일 때 이다. (구간 내에서 $\displaystyle y^2-2y-6$ 은 0이 아니다.)

+5점 ·

\displaystyle y=1

을 대입하여 최댓값

\displaystyle 3\sqrt3e^{-2}

을 얻으면

경계 $\displaystyle y=0$ , $\displaystyle y=2$ 일 때 $\displaystyle y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}$ 의 값을 체크해서 $\displaystyle y=1$ 일 때 최대값 $\displaystyle 3\sqrt3e^{-2}$ 을 얻는다는 결론을 내린다.

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자연계열 III 2-2번

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