수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 III 2번

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_2

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중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_2

[문제 2-1]

+4점 · 두 원의 교점을 찾아 두 접선의 기울기 −t4−t2\displaystyle -\frac t{\sqrt{4-t^2}}, −t2−2t4−t2\displaystyle -\frac{t^2-2}{t\sqrt{4-t^2}}를 얻으면

1=(x−1)2+y2=x2−2x+1+y2\displaystyle 1=(x-1)^2+y^2=x^2-2x+1+y^2를 전개한 후, x2+y2=t2\displaystyle x^2+y^2=t^2를 대입하여 교점 P(t22,t24−t2)\displaystyle \left(\frac{t^2}2,\frac t2\sqrt{4-t^2}\right)를 구한다. t=2\displaystyle t=2일 때는 두 원의 접선이 일치하므로 tan⁡θ(t)=0\displaystyle \tan\theta(t)=0이다.

2≤t<2\displaystyle \sqrt2\le t<2이라고 하고, 원의 방정식 x2+y2=t2\displaystyle x^2+y^2=t^2에 음함수 미분을 적용하여 점 P에서의 접선의 기울기

2x+2ydydx=0  ⇒  m1=−xy=−t4−t2\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\;\Rightarrow\;m_1=-\frac xy=-\frac t{\sqrt{4-t^2}}

를 구한다. 마찬가지로 원의 방정식 (x−1)2+y2=1\displaystyle (x-1)^2+y^2=1에 음함수 미분을 적용하여 접선의 기울기

2(x−1)+2ydydx=0  ⇒  m2=−x−1y=−t2−2t4−t2\displaystyle 2(x-1)+2y\frac{dy}{dx}=0\;\Rightarrow\;m_2=-\frac{x-1}y=-\frac{t^2-2}{t\sqrt{4-t^2}}

+4점 · 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여 tan⁡θ(t)=4−t2t\displaystyle \tan\theta(t)=\frac{\sqrt{4-t^2}}t를 얻으면

를 구한다. 따라서 탄젠트 함수의 덧셈정리에 의해 두 접선이 이루는 각 θ(t)\displaystyle \theta(t)는

tan⁡θ(t)=m2−m11+m2m1=4−t2t\displaystyle \tan\theta(t)=\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1}=\frac{\sqrt{4-t^2}}t

로 주어진다. (보충설명: 위 식은 t=2\displaystyle t=2일 때도 성립하므로 t=2\displaystyle t=2도 포함한다. 실제 그림을 그려보면 tan⁡(θ(2))=0\displaystyle \tan(\theta(2))=0이다. 또한, 여기서 조건 2≤t≤2\displaystyle \sqrt2\le t\le2에 의해 tan⁡(θ(t))\displaystyle \tan(\theta(t))가 0과 1사이이므로 θ(t)\displaystyle \theta(t)는 예각임을 확인할 수 있다)

+2점 · 적분을 계산하여 정답 32−4\displaystyle 3\sqrt2-4를 얻으면

마지막으로 위에서 얻은 식을 대입하여 적분을 계산하여 정답을 얻는다.

∫22tan⁡2θ(t) dt=∫224−t2t2 dt=[−4t−t]22=32−4\displaystyle \int_{\sqrt2}^2\tan^2\theta(t)\,dt=\int_{\sqrt2}^2\frac{4-t^2}{t^2}\,dt=\Biggl[-\frac4t-t\Biggr]_{\sqrt2}^2=3\sqrt2-4

[문제 2-2]

+5점 · 이등변 삼각형의 성질을 이용하여 함수 y3(4−y2)32e−2y\displaystyle y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}를 얻으면

각 BAC를 α\displaystyle \alpha, 각 ABC를 β\displaystyle \beta라 하자. 사인법칙을 이용하면 sin⁡α=x2\displaystyle \sin\alpha=\frac x2, sin⁡β=y2\displaystyle \sin\beta=\frac y2임을 알 수 있다. 그런데 여기서 삼각형 ABC가 이등변 삼각형이므로 α+2β=π\displaystyle \alpha+2\beta=\pi를 만족하므로 sin⁡(2β)=x2\displaystyle \sin(2\beta)=\frac x2인데, 이 식에 사인함수의 덧셈공식을 적용하면

x=2sin⁡(2β)=4sin⁡βcos⁡β=2y1−y24=y4−y2\displaystyle x=2\sin(2\beta)=4\sin\beta\cos\beta=2y\sqrt{1-\frac{y^2}4}=y\sqrt{4-y^2}

(또는 y4−4y2+x2=0\displaystyle y^4-4y^2+x^2=0)임을 알 수 있다. 따라서

x3e−2y=y3(4−y2)32e−2y\displaystyle x^3e^{-2y}=y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}

+5점 · 도함수를 계산하여 도함수가 0인 y=1\displaystyle y=1을 찾으면

이다. 위 식을 y\displaystyle y에 대한 함수로 보고 미분을 하면,

2y24−y2e−2y(y−1)(y2−2y−6)\displaystyle 2y^2\sqrt{4-y^2}e^{-2y}(y-1)(y^2-2y-6)

가 된다. y\displaystyle y의 범위가 0≤y≤2\displaystyle 0\le y\le2이므로 구간 내에서 도함수가 0인 경우는 y=1\displaystyle y=1일 때 이다. (구간 내에서 y2−2y−6\displaystyle y^2-2y-6은 0이 아니다.)

+5점 · y=1\displaystyle y=1을 대입하여 최댓값 33e−2\displaystyle 3\sqrt3e^{-2}을 얻으면

경계 y=0\displaystyle y=0, y=2\displaystyle y=2일 때 y3(4−y2)32e−2y\displaystyle y^3(4-y^2)^{\frac32}e^{-2y}의 값을 체크해서 y=1\displaystyle y=1일 때 최대값 33e−2\displaystyle 3\sqrt3e^{-2}을 얻는다는 결론을 내린다.

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