수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 III 2-1번

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_2_1

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[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=c\displaystyle x=c에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (c,f(c))\displaystyle (c,f(c))에서의 접선의 방정식은 y−f(c)=f′(c)(x−c)\displaystyle y-f(c)=f^{\prime}(c)(x-c)이다.

● 직선 y=mx+n\displaystyle y=mx+n이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 하면 tan⁡θ=m\displaystyle \tan\theta=m이다.

● 각 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 다음 식이 성립한다.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\quad\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하고 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

[문제 2-1] 좌표평면 위의 원 (x−1)2+y2=1\displaystyle (x-1)^2+y^2=1과 원 x2+y2=t2\displaystyle x^2+y^2=t^2의 교점 중 y≥0\displaystyle y\ge0인 점을 P(t)\displaystyle (t)라고 하자. 점 P(t)\displaystyle (t)에서 두 원의 접선이 이루는 각을 θ(t)\displaystyle \theta(t)라고 할 때, 정적분 ∫22{tan⁡θ(t)}2 dt\displaystyle \int_{\sqrt2}^2\{\tan\theta(t)\}^2\,dt의 값을 구하시오. (단, 2≤t≤2\displaystyle \sqrt2\le t\le2이고 0≤θ(t)≤π2\displaystyle 0\le\theta(t)\le\frac\pi2이다.) [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_2_1

[문제 2-1]

+4점 · 두 원의 교점을 찾아 두 접선의 기울기 −t4−t2\displaystyle -\frac t{\sqrt{4-t^2}}, −t2−2t4−t2\displaystyle -\frac{t^2-2}{t\sqrt{4-t^2}}를 얻으면

1=(x−1)2+y2=x2−2x+1+y2\displaystyle 1=(x-1)^2+y^2=x^2-2x+1+y^2를 전개한 후, x2+y2=t2\displaystyle x^2+y^2=t^2를 대입하여 교점 P(t22,t24−t2)\displaystyle \left(\frac{t^2}2,\frac t2\sqrt{4-t^2}\right)를 구한다. t=2\displaystyle t=2일 때는 두 원의 접선이 일치하므로 tan⁡θ(t)=0\displaystyle \tan\theta(t)=0이다.

2≤t<2\displaystyle \sqrt2\le t<2이라고 하고, 원의 방정식 x2+y2=t2\displaystyle x^2+y^2=t^2에 음함수 미분을 적용하여 점 P에서의 접선의 기울기

2x+2ydydx=0  ⇒  m1=−xy=−t4−t2\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\;\Rightarrow\;m_1=-\frac xy=-\frac t{\sqrt{4-t^2}}

를 구한다. 마찬가지로 원의 방정식 (x−1)2+y2=1\displaystyle (x-1)^2+y^2=1에 음함수 미분을 적용하여 접선의 기울기

2(x−1)+2ydydx=0  ⇒  m2=−x−1y=−t2−2t4−t2\displaystyle 2(x-1)+2y\frac{dy}{dx}=0\;\Rightarrow\;m_2=-\frac{x-1}y=-\frac{t^2-2}{t\sqrt{4-t^2}}

+4점 · 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여 tan⁡θ(t)=4−t2t\displaystyle \tan\theta(t)=\frac{\sqrt{4-t^2}}t를 얻으면

를 구한다. 따라서 탄젠트 함수의 덧셈정리에 의해 두 접선이 이루는 각 θ(t)\displaystyle \theta(t)는

tan⁡θ(t)=m2−m11+m2m1=4−t2t\displaystyle \tan\theta(t)=\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1}=\frac{\sqrt{4-t^2}}t

로 주어진다. (보충설명: 위 식은 t=2\displaystyle t=2일 때도 성립하므로 t=2\displaystyle t=2도 포함한다. 실제 그림을 그려보면 tan⁡(θ(2))=0\displaystyle \tan(\theta(2))=0이다. 또한, 여기서 조건 2≤t≤2\displaystyle \sqrt2\le t\le2에 의해 tan⁡(θ(t))\displaystyle \tan(\theta(t))가 0과 1사이이므로 θ(t)\displaystyle \theta(t)는 예각임을 확인할 수 있다)

+2점 · 적분을 계산하여 정답 32−4\displaystyle 3\sqrt2-4를 얻으면

마지막으로 위에서 얻은 식을 대입하여 적분을 계산하여 정답을 얻는다.

∫22tan⁡2θ(t) dt=∫224−t2t2 dt=[−4t−t]22=32−4\displaystyle \int_{\sqrt2}^2\tan^2\theta(t)\,dt=\int_{\sqrt2}^2\frac{4-t^2}{t^2}\,dt=\Biggl[-\frac4t-t\Biggr]_{\sqrt2}^2=3\sqrt2-4

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