수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2-1번

중앙대 2022학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022mo/jayeon_2_1

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 각 θ\displaystyle \theta에 대하여 식 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1이 성립한다.

● 미분가능한 함수 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 g(x)=t\displaystyle g(x)=t로 놓으면, 다음 식이 성립한다.∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(t)dt\displaystyle \int f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int f(t)dt

● 각 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 다음 식이 성립한다.tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

● 미분가능한 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)이다.

[문제 2-1] 다음 정적분의 값을 구하시오. [10점]∫0π6(1−sin⁡x)2cos⁡3xdx\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^3x}dx

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022mo/jayeon_2_1

[문제 2-1]

+5점 · 적분하는 함수를 정리하여 cos⁡x(1+sin⁡x)2\displaystyle \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}를 얻으면

적분을 하는 함수의 분모와 분자에 (1+sin⁡x)2\displaystyle (1+\sin x)^2를 곱한 후, 제시문의 삼각함수 공식을 적용하여 다음과 같이 식을 정리한다.(1−sin⁡x)2(1+sin⁡x)2cos⁡3x(1+sin⁡x)2=(1−sin⁡2x)2cos⁡3x(1+sin⁡x)2=cos⁡x(1+sin⁡x)2\displaystyle \frac{(1-\sin x)^2(1+\sin x)^2}{\cos^3x(1+\sin x)^2}=\frac{(1-\sin^2x)^2}{\cos^3x(1+\sin x)^2}=\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}

+3점 · u=sin⁡x\displaystyle u=\sin x로 치환을 하면 +2점 · 정답 13\displaystyle \frac13을 얻으면

그리고 u=sin⁡x\displaystyle u=\sin x로 치환하여 적분을 계산한다.∫0π6(1−sin⁡x)2cos⁡3xdx=∫0π6cos⁡x(1+sin⁡x)2dx=∫012du(1+u)2=−23−(−1)=13\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^3x}dx=\int_0^{\frac\pi6}\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}dx=\int_0^{\frac12}\frac{du}{(1+u)^2}=-\frac23-(-1)=\frac13

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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