자연계열 2번

적분을 하는 함수의 분모와 분자에 $\displaystyle (1+\sin x)^2$를 곱한 후, 제시문의 삼각함수 공식을 적용하여 다음과 같이 식을 정리한다.$\displaystyle \frac{(1-\sin x)^2(1+\sin x)^2}{\cos^3x(1+\sin x)^2}=\frac{(1-\sin^2x)^2}{\cos^3x(1+\sin x)^2}=\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$

그리고 $\displaystyle u=\sin x$로 치환하여 적분을 계산한다.$\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^3x}dx=\int_0^{\frac\pi6}\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}dx=\int_0^{\frac12}\frac{du}{(1+u)^2}=-\frac23-(-1)=\frac13$

우선 $\displaystyle z=\ln(t+1)$로 치환하여 $\displaystyle s(t)$를 구한다.$\displaystyle s(t)=\int_0^t\frac{\ln(u+1)}{u+1}dx=\int_0^{\ln(t+1)}zdz=\frac{(\ln(t+1))^2}{2}$Correction. 적분식에서 $\displaystyle dx$는 $\displaystyle du$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

각 $\displaystyle \angle\mathrm{BPO}$를 $\displaystyle \alpha$라고 하고, 탄젠트 함수의 공식을 이용하여$\displaystyle \tan\theta=\frac{\tan(\theta+\alpha)-\tan\alpha}{1+\tan(\theta+\alpha)\tan\alpha}=\frac{\frac2{s+2}-\frac1{s+1}}{1+\frac2{s+2}\frac1{s+1}}=\frac{s}{s^2+3x+4}$Correction. 분모의 $\displaystyle s^2+3x+4$는 $\displaystyle s^2+3s+4$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.를 얻는다. 이때, 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하여,$\displaystyle \sec^2\theta\frac{ds}{dt}=\frac{\frac{ds}{dt}(s^2+3s+4)-s\left(2s\frac{ds}{dt}+3\frac{ds}{dt}\right)}{(s^2+3s+4)^2}=\frac{v(4-s^2)}{(s^2+3s+4)^2}$Correction. $\displaystyle \tan\theta$를 $\displaystyle t$에 대해 미분한 식에서 $\displaystyle \frac{ds}{dt}$는 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 구하고, 앞에서 얻은 $\displaystyle \tan\theta$를 삼각함수 공식 $\displaystyle 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$에 적용하여,$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{v(4-s^2)}{(s^2+3s+4)^2}\left(1+\left(\frac{s}{s^2+3s+4}\right)^2\right)^{-1}=\frac{v(4-s^2)}{(s^2+3s+4)^2+s^2}$을 얻는다.

따라서 $\displaystyle \theta$가 최대가 되게 하는 $\displaystyle t_0$는 $\displaystyle s(t_0)=2$를 만족하고 $\displaystyle t_0=e^2-1$이다.

이제 시각 $\displaystyle t_0$에서 $\displaystyle \theta$의 이계도함수를 구하기 위해, 앞에서 얻은 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$를 $\displaystyle t$에 대해 미분을 하면$\displaystyle \theta^{\prime\prime}(t)=\left(\frac{v}{(s^2+3s+4)^2+s^2}\right)^{\prime}(4-s^2)+\frac{v}{(s^2+3s+4)^2+s^2}(4-s^2)^{\prime}$인데, 여기서 $\displaystyle s(t_0)=2$ (따라서 $\displaystyle 4-s(t_0)^2=0$)을 이용하면 첫 번째 항은 분수함수의 미분 값과 관계없이 0임을 알 수 있다. 마지막으로 $\displaystyle s(t_0)=2$와 $\displaystyle t_0=e^2-1$를 대입하여 정답을 얻는다.$\displaystyle \theta^{\prime\prime}(t_0)=\frac{v(t_0)(-2s(t_0)s^{\prime}(t_0))}{(s(t_0)^2+3s(t_0)+4)^2+s(t_0)^2}=-\frac{v(t_0)^2}{50}=-\frac{(\ln(t_0+1))^2}{50(t_0+1)^2}=-\frac2{25e^4}$