자연계열 1번

▶ $\displaystyle a=1$일 때, 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 직선 $\displaystyle y=|b-4|$가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 $\displaystyle |b-4|=0$일 때이다. 즉, 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 직선 $\displaystyle y=0$이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 $\displaystyle l=2$이다.

▶ $\displaystyle a=2$일 때, 원 $\displaystyle x^2+y^2=4$와 직선 $\displaystyle y=|b-4|$가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 $\displaystyle |b-4|=0$ 또는 $\displaystyle |b-4|=1$일 때이다 (즉, $\displaystyle y=0$ 또는 $\displaystyle y=1$이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 $\displaystyle l=4$ 또는 $\displaystyle l=2\sqrt3$임을 알 수 있다.

▶ $\displaystyle a=3$일 때, 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$와 직선 $\displaystyle y=|b-4|$가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 $\displaystyle |b-4|=0$, $\displaystyle |b-4|=1$ 또는 $\displaystyle |b-4|=2$일 때이다 (즉, $\displaystyle y=0$, $\displaystyle y=1$ 또는 $\displaystyle y=2$이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 $\displaystyle l=6$, $\displaystyle l=4\sqrt2$ 또는 $\displaystyle l=2\sqrt5$임을 알 수 있다.

▶ $\displaystyle a=4$일 때, 원 $\displaystyle x^2+y^2=16$과 직선 $\displaystyle y=|b-4|$가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 $\displaystyle |b-4|=0$, $\displaystyle |b-4|=1$, $\displaystyle |b-4|=2$ 또는 $\displaystyle |b-4|=3$일 때이다 (즉, $\displaystyle y=0$, $\displaystyle y=1$, $\displaystyle y=2$ 또는 $\displaystyle y=3$이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 $\displaystyle l=8$, $\displaystyle l=2\sqrt{15}$, $\displaystyle l=4\sqrt3$ 또는 $\displaystyle l=2\sqrt7$임을 알 수 있다.

▶ 이때 $\displaystyle \sqrt{15}\le l\le\sqrt{20}$을 만족하는 경우는 다음과 같다.

▶ 따라서 조건을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (2,4)$, $\displaystyle (3,2)$, $\displaystyle (3,6)$이다.