● 다음과 같이 두 종류의 정다면체 주사위를 고려한다. 즉, 정사면체 주사위는 각 면에 1부터 4까지의 자연수가 중복되지 않게 한 번씩 적혀있고, 정팔면체 주사위는 각 면에 1부터 8까지의 자연수가 같은 방식으로 적혀있다. 이때 각 주사위를 던졌을 때 밑면에 적혀있는 수를 그 주사위의 눈의 수라고 정의한다.
● 두 가지 정다면체 주사위를 각각 한 번씩 던지는 실험을 시행할 때, 정사면체 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 a라고 하고 정팔면체 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 b라고 한다.
● 이때 원 x2+y2=a2과 직선 y=∣b−4∣가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점 사이의 선분의 길이를 l이라고 한다.
15≤l≤20을 만족시키는 순서쌍 (a,b)를 모두 구하시오. [20점]
해설강의 준비중
중앙대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022mo/jayeon_1
▶ a가 가능한 값은 1, 2, 3, 4이고, b가 가능한 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이다. 이때, ∣b−4∣가 가능한 값은 0, 1, 2, 3, 4이다.
+4점 · a=1일 때 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 경우를 모두 찾고, 그때의 두 점 사이의 선분의 길이를 올바르게 계산한 경우
▶ a=1일 때, 원 x2+y2=1과 직선 y=∣b−4∣가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 ∣b−4∣=0일 때이다. 즉, 원 x2+y2=1과 직선 y=0이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 l=2이다.
+4점 · a=2일 때 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 경우를 모두 찾고, 그때의 두 점 사이의 선분의 길이를 올바르게 계산한 경우
▶ a=2일 때, 원 x2+y2=4와 직선 y=∣b−4∣가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 ∣b−4∣=0 또는 ∣b−4∣=1일 때이다 (즉, y=0 또는 y=1이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 l=4 또는 l=23임을 알 수 있다.
+4점 · a=3일 때 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 경우를 모두 찾고, 그때의 두 점 사이의 선분의 길이를 올바르게 계산한 경우
▶ a=3일 때, 원 x2+y2=9와 직선 y=∣b−4∣가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 ∣b−4∣=0, ∣b−4∣=1 또는 ∣b−4∣=2일 때이다 (즉, y=0, y=1 또는 y=2이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 l=6, l=42 또는 l=25임을 알 수 있다.
+4점 · a=4일 때 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나는 경우를 모두 찾고, 그때의 두 점 사이의 선분의 길이를 올바르게 계산한 경우
▶ a=4일 때, 원 x2+y2=16과 직선 y=∣b−4∣가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 ∣b−4∣=0, ∣b−4∣=1, ∣b−4∣=2 또는 ∣b−4∣=3일 때이다 (즉, y=0, y=1, y=2 또는 y=3이다). 이때 원과 직선이 만나는 두 점 사이의 선분의 길이는 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하면 l=8, l=215, l=43 또는 l=27임을 알 수 있다.
+4점 · 선분의 길이 l에 대한 조건을 만족하는 경우와 그때의 순서쌍 (a,b)를 올바르게 찾은 경우
▶ 이때 15≤l≤20을 만족하는 경우는 다음과 같다.
l
a
∣b−4∣
b
4=16
2
0
4
25=20
3
2
2
25=20
3
2
6
▶ 따라서 조건을 만족시키는 순서쌍 (a,b)는 (2,4), (3,2), (3,6)이다.
※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.
※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.
수리논술, 이게 다다.
