자연계열 3-1번

$\displaystyle f(x)$는 최고차계수가 양수이므로 역함수를 가지려면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\ge0$이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하여야 한다. 따라서 $\displaystyle D/4=a^2-3b\le0$이고, 영역 $\displaystyle R_1$을 $\displaystyle R_1=\{(a,b)|a^2-3b\le0\}$이라 하자.

마찬가지로 $\displaystyle g(x)$가 역함수를 가지려면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=5x^4-3bx^2+a\ge0$이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하여야 한다. $\displaystyle t=x^2$으로 치환하면, $\displaystyle t\ge0$인 임의의 실수 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 5t^2-3bt+a\ge0$을 만족하는 것으로 조건을 변경할 수 있다. 이차함수 $\displaystyle h(t)=5t^2-3bt+a$의 대칭축의 위치에 따라 다음의 두 경우를 생각하자.Ⅰ. $\displaystyle b\le0$일 때, $\displaystyle h(0)=a\ge0$이다. $\displaystyle R_2=\{(a,b)|a\ge0,\ b\le0\}$이라 하자.Ⅱ. $\displaystyle b>0$일 때, $\displaystyle D=9b^2-20a\le0$이다. $\displaystyle R_3=\{(a,b)|9b^2-20a\le0\}$이라 하자.

이때, 영역 $\displaystyle R$은 $\displaystyle R=R_1\cap(R_2\cup R_3)$로 주어지며 그 넓이는$\displaystyle \int_0^{\sqrt[3]{20}}\left(\frac{\sqrt{20}}3\sqrt a-\frac{a^2}3\right)da=\Biggl[\frac{\sqrt{20}}3\cdot\frac23a^{\frac32}-\frac{a^3}9\Biggr]_0^{\sqrt[3]{20}}=\frac{20}9$이다.