자연계열 3-2번

접점을 $\displaystyle (p,p^2)$으로 놓으면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2px-p^2$이다. 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(t,-3t^2+4t-1)$를 지나므로 $\displaystyle -3t^2+4t-1=2pt-p^2$이고 이를 정리하면 $\displaystyle p^2-2tp-3t^2+4t-1=0$이다.이 이차방정식의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta(\alpha>\beta)$라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=2t$, $\displaystyle \alpha\beta=-3t^2+4t-1$이므로$\displaystyle \alpha-\beta=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{4t^2-(-3t^2+4t-1)}=4t-2$Correction. 근호 안의 $\displaystyle 4t^2-(-3t^2+4t-1)$에서 두 번째 항에 곱하는 $\displaystyle 4$가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2)$와 $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\beta^2)$ 사이의 거리는$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=(\alpha-\beta)\sqrt{1+(\alpha+\beta)^2}$이다. 직선 AB의 방정식은 $\displaystyle (\alpha+\beta)x-y-\alpha\beta=0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(t,-3t^2+4t-1)=\mathrm{Q}\left(\frac{\alpha+\beta}2,\alpha\beta\right)$와의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{(\alpha-\beta)^2}{2\sqrt{(\alpha+\beta)^2+1}},\ \triangle\mathrm{QAB}=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot d=\frac{(\alpha-\beta)^3}4$이고, 직선 AB와 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 사이의 넓이는$\displaystyle \int_\beta^\alpha((\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2)dx=\frac{(\alpha-\beta)^3}6$

이므로 $\displaystyle A(t)=\frac{(\alpha-\beta)^3}4-\frac{(\alpha-\beta)^3}6=\frac{(\alpha-\beta)^3}{12}=\frac{2(2t-1)^3}3$이다.

$\displaystyle 18<\frac{2(2t-1)^3}3<486$을 풀어 $\displaystyle 2<t<5$를 얻는다.