자연계열 3번

$\displaystyle f(x)$는 최고차계수가 양수이므로 역함수를 가지려면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\ge0$이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하여야 한다. 따라서 $\displaystyle D/4=a^2-3b\le0$이고, 영역 $\displaystyle R_1$을 $\displaystyle R_1=\{(a,b)|a^2-3b\le0\}$이라 하자.

마찬가지로 $\displaystyle g(x)$가 역함수를 가지려면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=5x^4-3bx^2+a\ge0$이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하여야 한다. $\displaystyle t=x^2$으로 치환하면, $\displaystyle t\ge0$인 임의의 실수 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 5t^2-3bt+a\ge0$을 만족하는 것으로 조건을 변경할 수 있다. 이차함수 $\displaystyle h(t)=5t^2-3bt+a$의 대칭축의 위치에 따라 다음의 두 경우를 생각하자.Ⅰ. $\displaystyle b\le0$일 때, $\displaystyle h(0)=a\ge0$이다. $\displaystyle R_2=\{(a,b)|a\ge0,\ b\le0\}$이라 하자.Ⅱ. $\displaystyle b>0$일 때, $\displaystyle D=9b^2-20a\le0$이다. $\displaystyle R_3=\{(a,b)|9b^2-20a\le0\}$이라 하자.

이때, 영역 $\displaystyle R$은 $\displaystyle R=R_1\cap(R_2\cup R_3)$로 주어지며 그 넓이는$\displaystyle \int_0^{\sqrt[3]{20}}\left(\frac{\sqrt{20}}3\sqrt a-\frac{a^2}3\right)da=\Biggl[\frac{\sqrt{20}}3\cdot\frac23a^{\frac32}-\frac{a^3}9\Biggr]_0^{\sqrt[3]{20}}=\frac{20}9$이다.

접점을 $\displaystyle (p,p^2)$으로 놓으면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2px-p^2$이다. 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(t,-3t^2+4t-1)$를 지나므로 $\displaystyle -3t^2+4t-1=2pt-p^2$이고 이를 정리하면 $\displaystyle p^2-2tp-3t^2+4t-1=0$이다.이 이차방정식의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta(\alpha>\beta)$라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=2t$, $\displaystyle \alpha\beta=-3t^2+4t-1$이므로$\displaystyle \alpha-\beta=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{4t^2-(-3t^2+4t-1)}=4t-2$Correction. 근호 안의 $\displaystyle 4t^2-(-3t^2+4t-1)$에서 두 번째 항에 곱하는 $\displaystyle 4$가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2)$와 $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\beta^2)$ 사이의 거리는$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=(\alpha-\beta)\sqrt{1+(\alpha+\beta)^2}$이다. 직선 AB의 방정식은 $\displaystyle (\alpha+\beta)x-y-\alpha\beta=0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(t,-3t^2+4t-1)=\mathrm{Q}\left(\frac{\alpha+\beta}2,\alpha\beta\right)$와의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{(\alpha-\beta)^2}{2\sqrt{(\alpha+\beta)^2+1}},\ \triangle\mathrm{QAB}=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot d=\frac{(\alpha-\beta)^3}4$이고, 직선 AB와 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 사이의 넓이는$\displaystyle \int_\beta^\alpha((\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2)dx=\frac{(\alpha-\beta)^3}6$

이므로 $\displaystyle A(t)=\frac{(\alpha-\beta)^3}4-\frac{(\alpha-\beta)^3}6=\frac{(\alpha-\beta)^3}{12}=\frac{2(2t-1)^3}3$이다.

$\displaystyle 18<\frac{2(2t-1)^3}3<486$을 풀어 $\displaystyle 2<t<5$를 얻는다.