수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 3-1번

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon2_3_1

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[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다.∫abf(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx

● 점 (a,b)\displaystyle (a,b)와 점 (b,a)\displaystyle (b,a)는 직선 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭이다.

● 두 평면벡터 a⃗\displaystyle \vec a, b⃗\displaystyle \vec b가 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta일 때, a⃗\displaystyle \vec a와 b⃗\displaystyle \vec b의 내적은 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta이다.

[문제 3-1] 실수 θ\displaystyle \theta에 대하여 영역 A={(x,y)∣(x−1)2+y2≤1,  y≥(tan⁡θ)x}\displaystyle A=\{(x,y)|(x-1)^2+y^2\le1,\;y\ge(\tan\theta)x\}의 넓이를 g(θ)\displaystyle g(\theta)라 하자. 정적분 ∫0π4g(θ)cos⁡2θdθ\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{g(\theta)}{\cos^2\theta}d\theta의 값을 구하시오. (단, 0≤θ≤π4\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4이다.) [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon2_3_1

[문제 3-1]

+5점 · g(θ)=π2−θ−sin⁡θcos⁡θ\displaystyle g(\theta)=\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta을 보이면

직선 y=(tan⁡θ)x\displaystyle y=(\tan\theta)x는 x\displaystyle x축의 양의 방향과 θ\displaystyle \theta의 각을 이루는 직선이므로 원의 성질을 이용하면 g(θ)=12(π−2θ)−sin⁡θcos⁡θ=π2−θ−sin⁡θcos⁡θ\displaystyle g(\theta)=\frac12(\pi-2\theta)-\sin\theta\cos\theta=\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta을 얻는다.

+2점 · 부분적분 ∫0π4−θsec⁡2θ dθ=∫0π4tan⁡θ dθ−π4\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}-\theta\sec^2\theta\,d\theta=\int_0^{\frac\pi4}\tan\theta\,d\theta-\frac\pi4 보이면

∫0π4π2−θ−sin⁡θcos⁡θcos⁡2θdθ=∫0π4(π2sec⁡2θ−θsec⁡2θ−tan⁡θ)dθ\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta=\int_0^{\frac\pi4}\left(\frac\pi2\sec^2\theta-\theta\sec^2\theta-\tan\theta\right)d\theta이고 부분적분을 하면 ∫0π4−θsec⁡2θ dθ=[−θtan⁡θ]0π4+∫0π4tan⁡θ dθ=∫0π4tan⁡θ dθ−π4\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}-\theta\sec^2\theta\,d\theta=\Biggl[-\theta\tan\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}+\int_0^{\frac\pi4}\tan\theta\,d\theta=\int_0^{\frac\pi4}\tan\theta\,d\theta-\frac\pi4이다.

+3점 · 나머지 적분을 구하고 합하여 π4\displaystyle \frac\pi4 구하면

정리하면 주어진 정적분은 ∫0π4π2sec⁡2θ dθ−π4=π2[tan⁡θ]0π4−π4=π4\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac\pi2\sec^2\theta\,d\theta-\frac\pi4=\frac\pi2\Biggl[\tan\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\frac\pi4=\frac\pi4이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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