자연계열 II 3번

직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$는 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 $\displaystyle \theta$의 각을 이루는 직선이므로 원의 성질을 이용하면 $\displaystyle g(\theta)=\frac12(\pi-2\theta)-\sin\theta\cos\theta=\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta$을 얻는다.

$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta=\int_0^{\frac\pi4}\left(\frac\pi2\sec^2\theta-\theta\sec^2\theta-\tan\theta\right)d\theta$이고 부분적분을 하면 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}-\theta\sec^2\theta\,d\theta=\Biggl[-\theta\tan\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}+\int_0^{\frac\pi4}\tan\theta\,d\theta=\int_0^{\frac\pi4}\tan\theta\,d\theta-\frac\pi4$이다.

정리하면 주어진 정적분은 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac\pi2\sec^2\theta\,d\theta-\frac\pi4=\frac\pi2\Biggl[\tan\theta\Biggr]_0^{\frac\pi4}-\frac\pi4=\frac\pi4$이다.

$\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\theta$라 하자. 내적 정의를 고려하면 주어진 값은 $\displaystyle \cos\theta$임을 알 수 있다. 곡선 $\displaystyle y=\frac1{14+8\sqrt3}\ln x(\ln x-1)^2$은 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=e$(중근)에서 근을 가지고 $\displaystyle x\ge e$에서 증가하면서 $\displaystyle f(x)\le\sqrt{x}$이다. 원점에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 그은 접선 중 기울기가 최대인 경우에 $\displaystyle \cos\theta$가 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle (a,f(a))$에서의 접선이 원점을 지나면 $\displaystyle f(a)=af^{\prime}(a)$를 만족한다. 계산하면 $\displaystyle \ln a(\ln a-1)^2=(\ln a-1)^2+2\ln a(\ln a-1)$이고 $\displaystyle (\ln a-1)$이 공통 인수이므로 나머지를 정리하면 $\displaystyle (\ln a)^2-4\ln a+1=0$이고 $\displaystyle \ln a=2\pm\sqrt3$을 얻을 수 있다. $\displaystyle \ln a=2-\sqrt3$에 대응하는 접점은 $\displaystyle \left(e^{2-\sqrt3},\frac{7-4\sqrt3}{7+4\sqrt3}\right)$이고 $\displaystyle \ln a=2+\sqrt3$에 대응하는 접점은 $\displaystyle (e^{2+\sqrt3},1)$이다.

두 접점의 기울기를 비교해보자. $\displaystyle e<3$, $\displaystyle \sqrt3<2$를 고려하면 $\displaystyle e^{2\sqrt3}<3^4=81$이고 이를 이용하면 다음을 보일 수 있다.$\displaystyle \frac{7-4\sqrt3}{(7+4\sqrt3)e^{2-\sqrt3}}<\frac1{e^{2+\sqrt3}}\Leftrightarrow e^{2\sqrt3}<\frac{7+4\sqrt3}{7-4\sqrt3}=(7+4\sqrt3)^2=97+56\sqrt3$따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(e^{2+\sqrt3},1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(1,e^{2+\sqrt3})$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{2e^{2+\sqrt3}}{1+e^{4+2\sqrt3}}$을 갖는다.