중앙대 2022학년도 수시 자연계열 II 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx$

● 점 $\displaystyle (a,b)$ 와 점 $\displaystyle (b,a)$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다.

● 두 평면벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ 일 때, $\displaystyle \vec a$ 와 $\displaystyle \vec b$ 의 내적은 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 이다.

[문제 3-2] $\displaystyle x\ge1$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\frac1{14+8\sqrt3}\ln x(\ln x-1)^2$ 에 대하여, 원점이 $\displaystyle \mathrm{O}$ 인 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(t,f(t))$ 가 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 할 때, 두 벡터 $\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$ 와 $\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$ 의 내적의 최댓값을 구하시오. (단, $\displaystyle x\ge1$ 에서 $\displaystyle f(x)\le\sqrt{x}$ 이다.) [15점]

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[문제 3-2]

+3점 · 주어진 식이

\displaystyle \cos\theta

임을 보이면

$\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\theta$ 라 하자. 내적 정의를 고려하면 주어진 값은 $\displaystyle \cos\theta$ 임을 알 수 있다. 곡선 $\displaystyle y=\frac1{14+8\sqrt3}\ln x(\ln x-1)^2$ 은 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=e$ (중근)에서 근을 가지고 $\displaystyle x\ge e$ 에서 증가하면서 $\displaystyle f(x)\le\sqrt{x}$ 이다. 원점에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 그은 접선 중 기울기가 최대인 경우에 $\displaystyle \cos\theta$ 가 최댓값을 갖는다.

+7점 · 접선의 방정식을 구하고

\displaystyle \ln a=2\pm\sqrt3

보이면

$\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선이 원점을 지나면 $\displaystyle f(a)=af^{\prime}(a)$ 를 만족한다. 계산하면 $\displaystyle \ln a(\ln a-1)^2=(\ln a-1)^2+2\ln a(\ln a-1)$ 이고 $\displaystyle (\ln a-1)$ 이 공통 인수이므로 나머지를 정리하면 $\displaystyle (\ln a)^2-4\ln a+1=0$ 이고 $\displaystyle \ln a=2\pm\sqrt3$ 을 얻을 수 있다. $\displaystyle \ln a=2-\sqrt3$ 에 대응하는 접점은 $\displaystyle \left(e^{2-\sqrt3},\frac{7-4\sqrt3}{7+4\sqrt3}\right)$ 이고 $\displaystyle \ln a=2+\sqrt3$ 에 대응하는 접점은 $\displaystyle (e^{2+\sqrt3},1)$ 이다.

+5점 · 기울기를 비교하여

\displaystyle \mathrm{A}(e^{2+\sqrt3},1)

일 때 최댓값

\displaystyle \frac{2e^{2+\sqrt3}}{1+e^{4+2\sqrt3}}

를 구하면

두 접점의 기울기를 비교해보자. $\displaystyle e<3$ , $\displaystyle \sqrt3<2$ 를 고려하면 $\displaystyle e^{2\sqrt3}<3^4=81$ 이고 이를 이용하면 다음을 보일 수 있다. $\displaystyle \frac{7-4\sqrt3}{(7+4\sqrt3)e^{2-\sqrt3}}<\frac1{e^{2+\sqrt3}}\Leftrightarrow e^{2\sqrt3}<\frac{7+4\sqrt3}{7-4\sqrt3}=(7+4\sqrt3)^2=97+56\sqrt3$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(e^{2+\sqrt3},1)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(1,e^{2+\sqrt3})$ 일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{2e^{2+\sqrt3}}{1+e^{4+2\sqrt3}}$ 을 갖는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 II 3-2번

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