자연계열 1교시 3-2번

● 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점 $\displaystyle (\alpha,f(\alpha))$에서 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$이다.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$, $\displaystyle u=g(x)$에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$Comment. 치환적분 공식의 연속성 조건은 $\displaystyle g([a,b])$ 전체를 대상으로 해야 한다. $\displaystyle g$가 중간에 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.