자연계열 1교시 3번

곡선 위의 점 $\displaystyle (t,\cos(\ln t))$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\sin(\ln t)=\frac{\cos(\ln t)}t(x-t)$이다.Correction. 곡선 위의 점 $\displaystyle (t,\cos(\ln t))$에서 $\displaystyle \cos(\ln t)$는 $\displaystyle \sin(\ln t)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

원점을 지나므로 $\displaystyle (x,y)=(0,0)$을 대입하면 $\displaystyle \sin(\ln t)=\cos(\ln t)$가 된다. $\displaystyle t\ge1$이므로 $\displaystyle \ln t\ge0$이고 $\displaystyle \ln t=\frac\pi4$, $\displaystyle \pi+\frac\pi4$, $\displaystyle 2\pi+\frac\pi4$, $\displaystyle \cdots$이다. 따라서 $\displaystyle a_n=e^{\pi(n-1)+\frac\pi4}$이다.

등식 $\displaystyle \frac1{\left(n-\frac34\right)\left(n+\frac14\right)}=\frac1{n-\frac34}-\frac1{n+\frac14}$을 이용하면 구하는 값은 아래와 같다.$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac1{(\ln a_n)(\ln a_{n+1})}=\frac1{\pi^2}\sum_{n=1}^{10}\left(\frac1{n-\frac34}-\frac1{n+\frac14}\right)=\frac1{\pi^2}\left(4-\frac4{41}\right)=\frac{160}{41\pi^2}$

$\displaystyle \alpha\le0$일 때, $\displaystyle 2e^{3x}-3\alpha e^{2x}+8\ge8$이므로 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=6e^{2x}(e^x-\alpha)$이므로 $\displaystyle \alpha>0$인 경우에 $\displaystyle e^x=\alpha$에서 극솟값을 갖는다.

$\displaystyle x$축과 한점에서 만나기 위하여 $\displaystyle e^x=\alpha$을 함수에 대입하면 $\displaystyle 2\alpha^3-3\alpha^3+8=0$이 되어야 한다. 따라서, $\displaystyle \alpha_0=2$일 때 $\displaystyle x$축과 한점에서 만나고 $\displaystyle x_0=\ln\alpha_0=\ln2$이다.

주어진 정적분의 값은 아래와 같다.$\displaystyle \int_0^{x_0}(2e^{3x}-3\alpha_0e^{2x}+8)dx=\Biggl[\frac23e^{3x}-\frac{3\alpha_0}2e^{2x}+8x\Biggr]_0^{x_0}=8\ln2-\frac{13}3$