중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 3-1번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (\alpha,f(\alpha))$ 에서 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ 이다.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$ Comment. 치환적분 공식의 연속성 조건은 $\displaystyle g([a,b])$ 전체를 대상으로 해야 한다. $\displaystyle g$ 가 중간에 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 3-1] $\displaystyle x\ge1$ 에서 정의된, 좌표평면 위의 곡선 $\displaystyle y=\sin(\ln x)$ 가 있다. 좌표평면의 원점에서 곡선 $\displaystyle y=\sin(\ln x)$ 에 그은 가능한 모든 접선의 접점들을 $\displaystyle (a_n,\sin(\ln a_n))$ 으로 나타내자. 이때, $\displaystyle x$ 좌표가 가장 작은 접점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle a_1$ 이고, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n<a_{n+1}$ 이 성립한다. $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac1{(\ln a_n)(\ln a_{n+1})}$ 의 값을 구하시오. [10점]

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_3_1

[문제 3-1]

+3점 ·

\displaystyle y-\sin(\ln t)=\frac{\cos(\ln t)}t(x-t)

를 얻으면

곡선 위의 점 $\displaystyle (t,\cos(\ln t))$ 에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\sin(\ln t)=\frac{\cos(\ln t)}t(x-t)$ 이다.Correction. 곡선 위의 점 $\displaystyle (t,\cos(\ln t))$ 에서 $\displaystyle \cos(\ln t)$ 는 $\displaystyle \sin(\ln t)$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 ·

\displaystyle a_n=e^{\pi(n-1)+\frac\pi4}

을 얻으면

원점을 지나므로 $\displaystyle (x,y)=(0,0)$ 을 대입하면 $\displaystyle \sin(\ln t)=\cos(\ln t)$ 가 된다. $\displaystyle t\ge1$ 이므로 $\displaystyle \ln t\ge0$ 이고 $\displaystyle \ln t=\frac\pi4$ , $\displaystyle \pi+\frac\pi4$ , $\displaystyle 2\pi+\frac\pi4$ , $\displaystyle \cdots$ 이다. 따라서 $\displaystyle a_n=e^{\pi(n-1)+\frac\pi4}$ 이다.

+4점 · 계산하여

\displaystyle \frac{160}{41\pi^2}

을 얻으면

등식 $\displaystyle \frac1{\left(n-\frac34\right)\left(n+\frac14\right)}=\frac1{n-\frac34}-\frac1{n+\frac14}$ 을 이용하면 구하는 값은 아래와 같다. $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac1{(\ln a_n)(\ln a_{n+1})}=\frac1{\pi^2}\sum_{n=1}^{10}\left(\frac1{n-\frac34}-\frac1{n+\frac14}\right)=\frac1{\pi^2}\left(4-\frac4{41}\right)=\frac{160}{41\pi^2}$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 3-1번

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