수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2교시 2-1번

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 2교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo2_2_1

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[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx

● 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1이 성립한다.

● 미분가능한 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x), g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.∫abf(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx

● 미분가능한 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)이다.

● 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

[문제 2-1] 다음 정적분의 값을 구하시오. [10점]∫−π4π4∣x∣1−sin⁡xdx\displaystyle \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{|x|}{1-\sin x}dx

해설강의 준비중

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 2교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo2_2_1

[문제 2-1]

+4점 · 정적분을 정리하여 ∫0π42x1−sin⁡2xdx\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\frac{2x}{1-\sin^2x}dx를 얻으면

다음과 같이 정적분의 적분 구간 나눈 후, 첫 번째 적분에 대하여 u=−x\displaystyle u=-x로 치환하여 식을 정리한다.∫−π4π4∣x∣1−sin⁡xdx=∫−π40−x1−sin⁡xdx+∫0π4x1−sin⁡xdx=−∫π40u1+sin⁡udu+∫0π4x1−sin⁡xdx=∫0π4x1+sin⁡x+x1−sin⁡xdx=∫0π42x1−sin⁡2xdx\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{|x|}{1-\sin x}dx&=\int_{-\frac\pi4}^0\frac{-x}{1-\sin x}dx+\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1-\sin x}dx\\&=-\int_{\frac\pi4}^0\frac u{1+\sin u}du+\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1-\sin x}dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1+\sin x}+\frac{x}{1-\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi4}\frac{2x}{1-\sin^2x}dx\end{aligned}

+4점 · 2∫0π4xsec⁡2x dx\displaystyle 2\int_0^{\frac\pi4}x\sec^2x\,dx로 적은 후, 부분적분을 적용하여 계산을 시도하면

그리고 삼각함수의 관계식 sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1, sec⁡x=1cos⁡x\displaystyle \sec x=\frac1{\cos x}, (tan⁡x)′=sec⁡2x\displaystyle (\tan x)^{\prime}=\sec^2x과 부분적분을 적용하여∫−π4π4∣x∣1−sin⁡xdx=2∫0π4xsec⁡2x dx=π2tan⁡π4−2∫0π4tan⁡x dx\displaystyle \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{|x|}{1-\sin x}dx=2\int_0^{\frac\pi4}x\sec^2x\,dx=\frac\pi2\tan\frac\pi4-2\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx을 얻는다.

+2점 · 정답을 얻으면

마지막으로 치환적분 (u=cos⁡x)\displaystyle (u=\cos x)으로 정적분∫0π4tan⁡x dx=∫0π4sin⁡xcos⁡xdx=∫1211udu=ln⁡1−ln⁡(12)=ln⁡22\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\sin x}{\cos x}dx=\int_{\frac1{\sqrt2}}^1\frac1u du=\ln1-\ln\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac{\ln2}2를 계산하여 답 π2−ln⁡2\displaystyle \frac\pi2-\ln2를 구한다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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