자연계열 2교시 2번

다음과 같이 정적분의 적분 구간 나눈 후, 첫 번째 적분에 대하여 $\displaystyle u=-x$로 치환하여 식을 정리한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{|x|}{1-\sin x}dx&=\int_{-\frac\pi4}^0\frac{-x}{1-\sin x}dx+\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1-\sin x}dx\\&=-\int_{\frac\pi4}^0\frac u{1+\sin u}du+\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1-\sin x}dx\\&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{x}{1+\sin x}+\frac{x}{1-\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi4}\frac{2x}{1-\sin^2x}dx\end{aligned}$

그리고 삼각함수의 관계식 $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$, $\displaystyle \sec x=\frac1{\cos x}$, $\displaystyle (\tan x)^{\prime}=\sec^2x$과 부분적분을 적용하여$\displaystyle \int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{|x|}{1-\sin x}dx=2\int_0^{\frac\pi4}x\sec^2x\,dx=\frac\pi2\tan\frac\pi4-2\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx$을 얻는다.

마지막으로 치환적분 $\displaystyle (u=\cos x)$으로 정적분$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\sin x}{\cos x}dx=\int_{\frac1{\sqrt2}}^1\frac1u du=\ln1-\ln\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac{\ln2}2$를 계산하여 답 $\displaystyle \frac\pi2-\ln2$를 구한다.

점 P와 주어진 곡선 위의 점 사이 거리의 제곱의 함수를 $\displaystyle f(x)=x^2+\left\{4\left(1+\frac{x^2}{36}\right)^{\frac32}-109\right\}^2$라 하자. $\displaystyle f(x)$의 미분$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2x}3\left\{4\left(1+\frac{x^2}{36}\right)^2-109\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}+3\right\}$을 계산한 다음, $\displaystyle t=\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}$로 치환하여 인수분해 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2x}3(t-3)(4t^3+12t^2+36t-1)$을 얻는다.

이때, $\displaystyle g(t)=4t^3+12t^2+36t-1$라 하면 $\displaystyle g(1)=51>0$이고 $\displaystyle g^{\prime}(t)=12(t+1)^2+24>0$이므로, $\displaystyle t\ge1$일 때 $\displaystyle g(t)>0$라는 것을 알 수 있다.

따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle t=3$(즉, $\displaystyle x=\pm12\sqrt2$)에서 극값을 가진다. 여기서 $\displaystyle f(\pm12\sqrt2)=(12\sqrt2)^2+1<105^2=f(0)$이므로 $\displaystyle x_1=-12\sqrt2$, $\displaystyle x_2=12\sqrt2$임을 알 수 있다.

곡선의 길이를 구하기 위해 적분 $\displaystyle \int_{-12\sqrt2}^{12\sqrt2}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$를 계산해야 하는데, 적분 함수를$\displaystyle \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=\sqrt{1+\left(6\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}\cdot\frac x{18}\right)^2}=1+\frac{x^2}{18}$로 정리한 후 계산하면 정답 $\displaystyle 152\sqrt2$를 얻을 수 있다.