자연계열 2교시 2-2번

점 P와 주어진 곡선 위의 점 사이 거리의 제곱의 함수를 $\displaystyle f(x)=x^2+\left\{4\left(1+\frac{x^2}{36}\right)^{\frac32}-109\right\}^2$라 하자. $\displaystyle f(x)$의 미분$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2x}3\left\{4\left(1+\frac{x^2}{36}\right)^2-109\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}+3\right\}$을 계산한 다음, $\displaystyle t=\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}$로 치환하여 인수분해 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2x}3(t-3)(4t^3+12t^2+36t-1)$을 얻는다.

이때, $\displaystyle g(t)=4t^3+12t^2+36t-1$라 하면 $\displaystyle g(1)=51>0$이고 $\displaystyle g^{\prime}(t)=12(t+1)^2+24>0$이므로, $\displaystyle t\ge1$일 때 $\displaystyle g(t)>0$라는 것을 알 수 있다.

따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle t=3$(즉, $\displaystyle x=\pm12\sqrt2$)에서 극값을 가진다. 여기서 $\displaystyle f(\pm12\sqrt2)=(12\sqrt2)^2+1<105^2=f(0)$이므로 $\displaystyle x_1=-12\sqrt2$, $\displaystyle x_2=12\sqrt2$임을 알 수 있다.

곡선의 길이를 구하기 위해 적분 $\displaystyle \int_{-12\sqrt2}^{12\sqrt2}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$를 계산해야 하는데, 적분 함수를$\displaystyle \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}=\sqrt{1+\left(6\sqrt{1+\frac{x^2}{36}}\cdot\frac x{18}\right)^2}=1+\frac{x^2}{18}$로 정리한 후 계산하면 정답 $\displaystyle 152\sqrt2$를 얻을 수 있다.