자연계열 1교시 3-1번

● 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|dx$이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이다.

● $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ (단, $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne1$)