중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|dx$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$ 가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

● $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ (단, $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne1$ )

[문제 3-2] 좌표평면 위에 점 A(-1,0), B(1,0)이 있다. 구간 $\displaystyle -1\le x\le1$ 에서 정의된 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{x+2}$ 위의 점 P에 대하여 $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{APB}$ 라 할 때, $\displaystyle \tan^2\theta$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]

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[문제 3-2]

+8점 ·

\displaystyle f(t)=\frac{2\sqrt{t+2}}{t^2+t+1}

와

\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{3(t^2+3t+1)}{(t^2+t+1)^2\sqrt{t+2}}

을 구하면

점 P의 좌표는 $\displaystyle (t,\sqrt{t+2})$ 라 하자. $\displaystyle \angle\mathrm{PAB}=\alpha$ , $\displaystyle \angle\mathrm{PBA}=\beta$ 라 하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sqrt{t+2}}{1+t}$ , $\displaystyle \tan\beta=\frac{\sqrt{t+2}}{1-t}$ 이다.Comment. $\displaystyle t=-1$ 또는 $\displaystyle t=1$ 에서는 $\displaystyle \tan\alpha$ , $\displaystyle \tan\beta$ 중 하나가 정의되지 않는다. 두 끝점은 따로 확인하며, 이때 $\displaystyle \tan^2\theta$ 는 각각 $\displaystyle 4$ , $\displaystyle \frac43$ 이므로 최댓값에는 영향이 없다. $\displaystyle \theta=\pi-\alpha-\beta$ 이므로 $\displaystyle \tan(\theta)=f(t)$ 라 하면 $\displaystyle f(t)=\frac{2\sqrt{t+2}}{t^2+t+1}$ 이다. 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{3(t^2+3t+1)}{(t^2+t+1)^2\sqrt{t+2}}$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle t=\frac{-3\pm\sqrt5}2

를 구하고

\displaystyle t=\frac{-3+\sqrt5}2

에서 최댓값을 갖는다는 것을 보이면

$\displaystyle t=\frac{-3\pm\sqrt5}2$ 에서 극값을 갖고 $\displaystyle \frac{-3-\sqrt5}2<-1<\frac{-3+\sqrt5}2<1$ 이므로 $\displaystyle t=\frac{-3+\sqrt5}2$ 에서 최댓값을 갖는다.Comment. 최댓값에는 영향이 없지만, $\displaystyle t=\frac{-3-\sqrt5}2$ 는 정의역 밖의 값이므로 극값을 갖는 지점이 아니다. 이 문제에서는 $\displaystyle t=\frac{-3+\sqrt5}2$ 만 고려한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · 최댓값

\displaystyle \frac{11+5\sqrt5}2

을 구하면

$\displaystyle \tan^2\theta$ 의 최댓값은 $\displaystyle \left\{f\left(\frac{-3+\sqrt5}2\right)\right\}^2=\frac{11+5\sqrt5}2$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 3-2번

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