수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1교시 2-2번

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo1_2_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● a>0\displaystyle a>0, a≠1\displaystyle a\ne1, N>0\displaystyle N>0일 때, ax=N⇔x=log⁡aN\displaystyle a^x=N\Leftrightarrow x=\log_aN이다. 그리고 log⁡aNk=klog⁡aN\displaystyle \log_aN^k=k\log_aN이다. (단, k\displaystyle k는 실수)

● a>0\displaystyle a>0, a≠1\displaystyle a\ne1, b>0\displaystyle b>0, c>0\displaystyle c>0, c≠1\displaystyle c\ne1일 때, log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\displaystyle \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}이다.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx(단, Δx=b−an,  xk=a+kΔx)\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\quad\text{(단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\;x_k=a+k\Delta x\text{)}

● tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} (단, tan⁡αtan⁡β≠−1\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne-1)

[문제 2-2] 좌표평면에서 직선 x=1\displaystyle x=1 위를 움직이는 점 A(1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(1,y_1)과 x\displaystyle x축 위를 움직이는 점 B(x1,0)\displaystyle \mathrm{B}(x_1,0)의 시각 t\displaystyle t에서의 위치는 두 함수 x1=f(t)\displaystyle x_1=f(t), y1=g(t)\displaystyle y_1=g(t), 로 나타내어질 수 있다. 두 점 A(1,g(t))\displaystyle \mathrm{A}(1,g(t)), B(f(t),0)\displaystyle \mathrm{B}(f(t),0), 은 시각 t=0\displaystyle t=0일 때 (1,0)\displaystyle (1,0)에서 출발한 후, 0<t≤π4\displaystyle 0<t\le\frac\pi4일 때 원점 O에 대하여 ∠AOB=t\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=t이고 ∠OAB=2π3\displaystyle \angle\mathrm{OAB}=\frac{2\pi}3를 만족하며 움직인다고 하자. 이때, 극한값 lim⁡n→∞1n∑k=1nf(πk6n)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right)를 구하시오. (단, x1≥1\displaystyle x_1\ge1, y1≥0\displaystyle y_1\ge0이다.) [15점]

해설강의 준비중

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[문제 2-2]

+3점 · 주어진 정보로부터 f(t)=1+(tan⁡t){tan⁡(t+π6)}\displaystyle f(t)=1+(\tan t)\left\{\tan\left(t+\frac\pi6\right)\right\} 구하면

우선 주어진 문제의 조건으로부터 f(t)=1+(tan⁡t){tan⁡(t+π6)}\displaystyle f(t)=1+(\tan t)\left\{\tan\left(t+\frac\pi6\right)\right\}를 구한 후,

+4점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 6π∫0π6[1+(tan⁡x){tan⁡(x+π6)}]dx\displaystyle \frac6\pi\int_0^{\frac\pi6}\left[1+(\tan x)\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)\right\}\right]dx를 얻으면

정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 극한값을 6π∫0π6[1+(tan⁡x){tan⁡(x+π6)}]dx\displaystyle \frac6\pi\int_0^{\frac\pi6}\left[1+(\tan x)\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)\right\}\right]dx로 표현한다.

+4점 · 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여 1+(tan⁡x){tan⁡(x+π6)}=tan⁡(x+π6)−tan⁡xtan⁡π6\displaystyle 1+(\tan x)\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)\right\}=\frac{\tan\left(x+\frac\pi6\right)-\tan x}{\tan\frac\pi6}를 얻으면

그리고 제시문에 주어진 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여lim⁡n→∞1n∑k=1nf(πk6n)=6π∫0π6tan⁡(x+π6)−tan⁡xtan⁡π6dx=63π∫0π6{tan⁡(x+π6)−tan⁡x}dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right)=\frac6\pi\int_0^{\frac\pi6}\frac{\tan\left(x+\frac\pi6\right)-\tan x}{\tan\frac\pi6}dx=\frac{6\sqrt3}\pi\int_0^{\frac\pi6}\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)-\tan x\right\}dx를 얻는다.

+4점 · 정적분을 계산하여 정답 63πln⁡32\displaystyle \frac{6\sqrt3}\pi\ln\frac32를 얻으면

치환적분을 이용하면 tan⁡x\displaystyle \tan x의 부정적분이 −ln⁡(cos⁡x)+C\displaystyle -\ln(\cos x)+C임을 알 수 있는데, 이를 이용하여 다음의 답을 얻는다.63π{−ln⁡(cos⁡π3)+ln⁡(cos⁡π6)+ln⁡(cos⁡π6)−ln⁡(cos⁡0)}=63πln⁡32\displaystyle \frac{6\sqrt3}\pi\left\{-\ln\left(\cos\frac\pi3\right)+\ln\left(\cos\frac\pi6\right)+\ln\left(\cos\frac\pi6\right)-\ln(\cos0)\right\}=\frac{6\sqrt3}\pi\ln\frac32

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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