중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 4-1번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 라 하면 $\displaystyle \frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R$ 이다.

● 삼각형 ABC에서 $\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 이다.

● 평면 위의 한 점 F와 이 점을 지나지 않는 직선 $\displaystyle l$ 이 주어질 때, 점 F와 직선 $\displaystyle l$ 에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ 이고 $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

[문제 4-1] 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 2인 정삼각기둥에서 두 선분 AC, BE의 중점을 각각 M, N이라 하고, 두 선분 MN, CN의 중점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형 PFQ의 외접원의 반지름의 길이를 구하시오. [15점]

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[문제 4-1]

$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac12\overline{\mathrm{MC}}=\frac12$

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=2

를 구하면

직각삼각형 MBN에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MB}}^2+\overline{\mathrm{BN}}^2}=\sqrt{3+1}=2$ 이다. 직각삼각형 FCM과 NEF에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MC}}^2+\overline{\mathrm{FC}}^2}=\sqrt5$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{NF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{NE}}^2+\overline{\mathrm{EF}}^2}=\sqrt5$ 이므로 삼각형 FMN은 이등변삼각형이고 삼각형 MPF는 직각삼각형이다. 직각삼각형 MPF에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MF}}^2-\overline{\mathrm{MP}}^2}=2$

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{QF}}=\frac{\sqrt{13}}2

을 구하면

점 Q에서 선분 EF에 내린 수선의 발을 R이라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac32$ 이고 삼각형 QRF는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{QR}}^2+\overline{\mathrm{RF}}^2}=\frac{\sqrt{13}}2$

+5점 ·

\displaystyle R=\frac{\sqrt{39}}6

를 구하면

$\displaystyle \theta=\angle\mathrm{QPF}$ 라 하면 삼각형 QPF에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\frac14+4-\frac{13}4}{2\times\frac12\times2}=\frac12$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}2$ 이다. 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle 2R=\frac{\frac{\sqrt{13}}2}{\frac{\sqrt3}2}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt3}$ 이므로 $\displaystyle R=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt{39}}6$

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※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 4-1번

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