중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\quad\text{(단, }a<x<b\text{)}$

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다.

● 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치가 함수 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 로 나타내어질 때, $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ 까지 점 P가 움직인 거리는 $\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}dt$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$ 가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

[문제 2-1] 닫힌구간 $\displaystyle [-1,5]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)=\int_{-1}^x(t^2+5)\left\{1-2\sin\left(\frac{\pi t}{t^2+5}\right)\right\}dt$ 의 최댓값을 구하시오. [10점]

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo2_2_1

[문제 2-1]

+3점 ·

\displaystyle x=1,5

일 때

\displaystyle f^{\prime}(x)=0

인 것을 확인하면

$\displaystyle f^{\prime}(x)=(x^2+5)\left\{1-2\sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)\right\}$ 이므로 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle \frac{\pi x}{x^2+5}=\frac\pi6+2n\pi$ , $\displaystyle \frac{\pi x}{x^2+5}=\frac{5\pi}6+2n\pi$ 일 때, 극값을 가질 수 있다. 하지만 $\displaystyle f^{\prime}(0)\ne0$ 이고, $\displaystyle x\ne0$ 일 때 $\displaystyle \left|\frac{\pi x}{x^2+5}\right|=\frac\pi{|x|+\frac5{|x|}}\le\frac\pi{2\sqrt5}<\frac\pi4$ 이므로, $\displaystyle \frac{\pi x}{5+x^2}=\frac\pi6$ 인 경우, 즉 $\displaystyle x=1,5$ 일 때, 극값을 가진다.

+4점 ·

\displaystyle f(x)

의 증가, 감소 구간을 조사하여

\displaystyle f(1)

이 최대라는 것을 보이면

도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호를 조사하기 위해, $\displaystyle g(x)=1-2\sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)$ 라 정의하고 이 함수의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2\cos\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)\frac{\pi(x^2-5)}{(x^2+5)^2}$ 를 구한다. 이로부터 $\displaystyle g(x)$ 가 구간 $\displaystyle (-1,\sqrt5)$ 에서 감소하고, 구간 $\displaystyle (\sqrt5,5)$ 에서는 증가한다는 것을 알 수 있다. 그런데 $\displaystyle g(1)=g(5)=0$ 이므로, 구간 $\displaystyle (-1,1)$ 에서 $\displaystyle g(x)>0$ 이고 $\displaystyle f(x)$ 는 증가하며, 구간 $\displaystyle (1,5)$ 에서는 $\displaystyle g(x)<0$ 이고 $\displaystyle f(x)$ 는 감소한다. 따라서 $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle f(x)$ 는 최댓값을 가진다.

+3점 ·

\displaystyle f(1)=\frac{32}3

를 구하면

마지막으로 $\displaystyle (x^2+5)\sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)$ 의 그래프의 형태를 생각해보면 정적분 $\displaystyle \int_{-1}^1(x^2+5)\sin\left(\frac{\pi x}{x^2+5}\right)dx=0$ 이라는 것을 알 수 있다. 따라서, 최댓값은 $\displaystyle f(1)=\int_{-1}^1(t^2+5)dt=\frac{32}3$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 2교시 2-1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개