자연계열 2교시 1번

(1) 선분의 내분점과 외분점은 다음과 같이 정의된다.

● 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)$를 이은 선분 AB를 $\displaystyle m:n$으로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$이다. $\displaystyle (m>0,n>0)$

● 선분 AB를 $\displaystyle m:n$으로 외분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)$이다. $\displaystyle (m>0,n>0,m\ne n)$

(2) 일반적으로 $\displaystyle (m,n)$인 경우 $\displaystyle \mathrm{A}_1(x_1,0)$과 $\displaystyle \mathrm{A}_2(x_1,y_1)$은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\text{선분 OP}&\mathrm{A}_1(x_1,0)&\text{확률}&\text{선분 }\mathrm{A}_1\mathrm Q&\mathrm{A}_2(x_1,y_1)&\text{확률}\\\hline m:1\text{로 내분}&\left(\frac{12m}{m+1},0\right)&\frac1m&1:n\text{으로 내분}&\left(x_1,\frac8{1+n}\right)&\frac2n\\1:m\text{으로 외분}&\left(\frac{12}{1-m},0\right)&1-\frac1m&n:1\text{로 외분}&\left(x_1,\frac{8n}{n-1}\right)&1-\frac2n\end{array}$Correction. 본문의 표는 『2024학년도 중앙대 수시논술 문제 및 해설』의 “외분” 표기를 따랐다. 『2025 중앙대학교 논술가이드북(자연계열)』에는 둘째 행의 두 “외분”이 모두 “내분”으로 잘못 적혀 있다.

● 선분 OP를 $\displaystyle 2:1$로 내분한 점은 $\displaystyle (8,0)$이고, $\displaystyle 1:2$로 외분한 점은 $\displaystyle (-12,0)$이다. 즉, 점 A는 $\displaystyle \frac12$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_1(8,0)$으로 이동하거나, $\displaystyle \frac12$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-12,0)$으로 이동한다.

● 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(8,0)$일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm Q$를 $\displaystyle 1:3$으로 내분한 점은 $\displaystyle (8,2)$이고, $\displaystyle 3:1$로 외분한 점은 $\displaystyle (8,12)$이다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$은 $\displaystyle \frac23$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2(8,2)$로 이동하거나, $\displaystyle \frac13$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2(8,12)$로 이동한다.

● 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-12,0)$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$은 $\displaystyle \frac23$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2(-12,2)$로 이동하거나, $\displaystyle \frac13$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2(-12,12)$로 이동한다.

● 선분 OP를 $\displaystyle 3:1$로 내분한 점은 $\displaystyle (9,0)$이고, $\displaystyle 1:3$로 외분한 점은 $\displaystyle (-6,0)$이다. 즉, 점 A는 $\displaystyle \frac13$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_1(9,0)$으로 이동하거나, $\displaystyle \frac23$의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-6,0)$으로 이동한다.

● 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(9,0)$일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm Q$를 $\displaystyle 1:2$으로 내분한 점은 $\displaystyle \left(9,\frac83\right)$이고, $\displaystyle 2:1$로 외분한 점은 $\displaystyle (9,16)$이다. 즉 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$은 1의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2\left(9,\frac83\right)$로 이동한다.

● 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-6,0)$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1$은 1의 확률로 $\displaystyle \mathrm{A}_2\left(-6,\frac83\right)$로 이동한다.

(5) 모든 경우를 고려하여 계산한 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}m,n&\text{확률}&\mathrm{A}_1(x_1,0)&\text{확률}&\mathrm{A}_2(x_1,y_1)&\text{확률}&\mathrm A\to\mathrm{A}_1\to\mathrm{A}_2\text{일 확률}\\\hline m=2,n=3&\frac12&\mathrm{A}_1(8,0)&\frac12&\mathrm{A}_2(8,2)&\frac23&\frac12\times\frac12\times\frac23=\frac16\\&&&&\mathrm{A}_2(8,12)&\frac13&\frac12\times\frac12\times\frac13=\frac1{12}\\&&\mathrm{A}_1(-12,0)&\frac12&\mathrm{A}_2(-12,2)&\frac23&\frac12\times\frac12\times\frac23=\frac16\\&&&&\mathrm{A}_2(-12,12)&\frac13&\frac12\times\frac12\times\frac13=\frac1{12}\\\hline m=3,n=2&\frac12&\mathrm{A}_1(9,0)&\frac13&\mathrm{A}_2\left(9,\frac83\right)&1&\frac12\times\frac13\times1=\frac16\\&&&&\mathrm{A}_2(9,16)&0&0\\&&\mathrm{A}_1(-6,0)&\frac23&\mathrm{A}_2\left(-6,\frac83\right)&1&\frac12\times\frac23\times1=\frac13\\&&&&\mathrm{A}_2(-6,16)&0&0\end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\mathrm{A}_2(x_1,y_1)&\text{확률}&|x_1|&\text{점 }\mathrm{A}_2\text{와 점 P사이의 거리}&|x_1|>\text{거리}\\\hline\mathrm{A}_2(8,2)&\frac16&8&\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}&\mathrm O\\\mathrm{A}_2(8,12)&\frac1{12}&8&\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}&\mathrm X\\\mathrm{A}_2(-12,2)&\frac16&12&\sqrt{24^2+2^2}=\sqrt{580}&\mathrm X\\\mathrm{A}_2(-12,12)&\frac1{12}&12&\sqrt{24^2+12^2}=\sqrt{720}&\mathrm X\\\mathrm{A}_2\left(9,\frac83\right)&\frac16&9&\sqrt{3^2+\left(\frac83\right)^2}=\sqrt{\frac{145}9}&\mathrm O\\\mathrm{A}_2\left(-6,\frac83\right)&\frac13&6&\sqrt{18^2+\left(\frac83\right)^2}=\sqrt{324+\frac{64}9}&\mathrm X\end{array}$

※ 확률이 0인 $\displaystyle \mathrm{A}_2(9,16)$과 $\displaystyle \mathrm{A}_2(-6,16)$의 경우는 거리 계산에서 제외하였다.