자연계열 2교시 2-2번

● 함수 $\displaystyle f(t)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\quad\text{(단, }a<x<b\text{)}$

● 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 증가하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이면 $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

● 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치가 함수 $\displaystyle x=f(t)$, $\displaystyle y=g(t)$로 나타내어질 때, $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b$까지 점 P가 움직인 거리는 $\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}dt$이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$