자연계열 2교시 3-1번

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo2_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

[문제 3-1] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 일반항이 $\displaystyle a_n=\int_0^{\ln(n+1)}(2e^{2x}-e^x)dx$ 일 때, 다음 식의 값을 구하시오. [10점] $\displaystyle \sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k+\frac1{k+1}+1\right)\frac1{a_k}$

해설강의 준비중

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo2_3_1

[문제 3-1]

+5점 ·

\displaystyle a_n=n(n+1)

를 구하면

정적분하면 $\displaystyle a_n=\int_0^{\ln(n+1)}(2e^{2x}-e^x)dx=\Biggl[e^{2x}-e^x\Biggr]_0^{\ln(n+1)}=n(n+1)$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \frac1{a_k}=\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)

을 이용하여 식의 값

\displaystyle \frac{19899}{10000}

을 구하면

$\displaystyle \frac1{a_k}=\frac1{k(k+1)}=\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)$ 이므로 주어진 식의 값은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k+\frac1{k+1}+1\right)\frac1{a_k}=\sum_{k=1}^{99}\left(\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}\right)+\sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\frac{9999}{10000}+\frac{99}{100}=\frac{19899}{10000}$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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