[문제 1] 주머니 A에는 1부터 3까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 3장의 카드가 들어 있고, 주머니 B에는 2부터 8까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 7장의 카드가 들어 있다. 이때 다음과 같은 시행을 한다.
• 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 3의 배수이면 주머니 A를 선택하고, 아니면 주머니 B를 선택한다.
• 선택한 주머니에서 두 장의 카드를 동시에 꺼낸다.
• 두 장의 카드에 적힌 수 중 작은 수를 a, 큰 수를 b라고 할 때, a와 b가 b3−6ab2+11a2b−6a3=0을 만족하면 ab점의 점수를 획득하고, 그렇지 않으면 b−a점의 점수를 획득한다.
위의 시행을 한 번 할 때, 획득하는 점수의 기댓값을 구하시오. [20점]
중앙대 2025학년도 모의 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/jayeon_1
획득하는 점수를 X라 하면,주머니 A, B를 선택할 확률은 각각 62=31, 64=32이다.
+4점 · 삼차방정식의 해를 올바르게 구한 경우
조건식의 좌변을 인수분해하면b3−6ab2+11a2b−6a3=(b−a)(b−2a)(b−3a)이고,a<b이므로 주어진 조건은 b=2a 또는 b=3a이다.따라서 점수는X=⎩⎨⎧23b−a(b=2a),(b=3a),(b=2a,b=3a).
+3점 · 주머니 A를 선택한 경우의 X의 경우의 수 또는 확률분포표를 정확히 구한 경우
(i) 주머니 A를 선택한 경우가능한 카드 쌍 (a,b)는 (1,2), (1,3), (2,3)이고,각 경우의 점수는 차례로 2, 3, 1이다.각 카드 쌍이 나올 확률은 31이므로 이때의 기댓값을 μA라 하면μA=32+3+1=2.
+8점 · 주머니 B를 선택한 경우의 X의 경우의 수 또는 확률분포표를 정확히 구한 경우
(ii) 주머니 B를 선택한 경우가능한 카드 쌍은 7C2=21가지이고, 각 카드 쌍이 나올 확률은 211이다.작은 수 a를 고정하고, 큰 수 b를 a+1부터 8까지 늘려 가며 점수를 나열하면 다음과 같다.
작은 수 a
b=a+1,…,8 순서의 점수
점수의 합
2
1,2,3,3,5,6
20
3
1,2,2,4,5
14
4
1,2,3,2
8
5
1,2,3
6
6
1,2
3
7
1
1
따라서 주머니 B를 선택했을 때의 기댓값을 μB라 하면μB=2120+14+8+6+3+1=2152.
+5점 · X의 기댓값을 정확히 구한 경우
주머니 A, B에서의 기댓값에 각 주머니를 선택할 확률을 곱하여 더하면E(X)=31μA+32μB=31⋅2+32⋅2152=63146.
Advice.경우를 나누어 기댓값을 구하라: 각 경우가 일어났다고 가정하고 그때의 기댓값을 구하자. 이렇게 구한 값에 각각 그 경우가 일어날 확률을 곱해 더하면 전체 기댓값이 된다. 이 문제에서는 각 주머니에서의 평균 점수를 구한 뒤, 주머니를 선택할 확률을 곱해 더하면 된다. 두 주머니의 점수를 합친 확률분포표를 만들 필요는 없다.
수리논술, 이게 다다.