수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1번

중앙대 2025학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/jayeon_1

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중앙대 2025학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/jayeon_1

▶ 주머니 A를 선택하는 사건을 A\displaystyle A, 주머니 B를 선택하는 사건을 B\displaystyle B라 하면 P(A)=26=13\displaystyle P(A)=\frac26=\frac13, P(B)=26=23\displaystyle P(B)=\frac26=\frac23이다.Correction. P(B)\displaystyle P(B)를 구한 식의 26\displaystyle \frac26은 46\displaystyle \frac46의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+4점 · 삼차방정식의 해를 올바르게 구한 경우

▶ 조건식 b3−6ab2+11a2b−6a3=0\displaystyle b^3-6ab^2+11a^2b-6a^3=0의 좌변을 인수분해 하면 (b−a)(b−2a)(b−3a)=0\displaystyle (b-a)(b-2a)(b-3a)=0이다. 따라서 문제의 조건을 ‘b=a\displaystyle b=a 또는 b=2a\displaystyle b=2a 또는 b=3a\displaystyle b=3a이면 ba\displaystyle \frac ba, 그렇지 않으면 b−a\displaystyle b-a를 반환한다’로 바꿀 수 있다. 단, 두 장의 카드에 적힌 수가 같을 수 없으므로 b=a\displaystyle b=a인 경우는 고려할 필요가 없다.

+3점 · 주머니 A를 선택한 경우의 X\displaystyle X의 경우의 수 또는 확률분포표를 정확히 구한 경우

▶ 문제의 시행으로부터 반환되는 값을 X\displaystyle X라 하자. 주머니 A를 선택한 경우, a\displaystyle a와 b\displaystyle b 쌍이 가질 수 있는 값의 경우의 수는 3C2=3\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3이다. a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값에 따른 X\displaystyle X의 값은 다음과 같다.

abX12ba=213ba=323b−a=1\displaystyle \begin{array}{c|c|c}a&b&X\\\hline 1&2&\frac ba=2\\1&3&\frac ba=3\\2&3&b-a=1\end{array}

▶ 따라서 주머니 A를 선택한 경우 X\displaystyle X의 확률분포표는 다음과 같다. P(X=x)\displaystyle P(X=x)는 X=x\displaystyle X=x인 경우의 수를 전체 경우의 수인 3\displaystyle 3으로 나누어 구한다.

X123합계P(X=x)1313131\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}X&1&2&3&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac13&\frac13&\frac13&1\end{array}

+8점 · 주머니 B를 선택한 경우의 X\displaystyle X의 경우의 수 또는 확률분포표를 정확히 구한 경우

▶ 주머니 B를 선택한 경우, a\displaystyle a와 b\displaystyle b 쌍이 가질 수 있는 값의 경우의 수는 7C2=21\displaystyle {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21이다. a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값에 따른 X\displaystyle X의 값은 다음과 같다. (a=2\displaystyle a=2, b=8\displaystyle b=8일 때 b=4a\displaystyle b=4a이므로 몫이 아닌 차를 구해야 함을 유의)

abXabX23b−a=145b−a=124ba=246b−a=225b−a=347b−a=326ba=348ba=227b−a=556b−a=128b−a=657b−a=234b−a=158b−a=335b−a=267b−a=136ba=268b−a=237b−a=478b−a=138b−a=5\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}a&b&X&a&b&X\\\hline 2&3&b-a=1&4&5&b-a=1\\2&4&\frac ba=2&4&6&b-a=2\\2&5&b-a=3&4&7&b-a=3\\2&6&\frac ba=3&4&8&\frac ba=2\\2&7&b-a=5&5&6&b-a=1\\2&8&b-a=6&5&7&b-a=2\\3&4&b-a=1&5&8&b-a=3\\3&5&b-a=2&6&7&b-a=1\\3&6&\frac ba=2&6&8&b-a=2\\3&7&b-a=4&7&8&b-a=1\\3&8&b-a=5&&&\end{array}

▶ 따라서 주머니 B를 선택한 경우 X\displaystyle X의 확률분포표는 다음과 같다. P(X=x)\displaystyle P(X=x)는 X=x\displaystyle X=x인 경우의 수를 전체 경우의 수인 21\displaystyle 21로 나누어 구한다.

X123456합계P(X=x)6217214211212211211\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}X&1&2&3&4&5&6&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac6{21}&\frac7{21}&\frac4{21}&\frac1{21}&\frac2{21}&\frac1{21}&1\end{array}

▶ A\displaystyle A와 B\displaystyle B는 배반사건이므로, 확률의 덧셈정리와 곱셈정리를 이용하여 X\displaystyle X의 확률분포표를 다음과 같이 구할 수 있다.

X123456합계P(X=x)13×13+23×621=196313×13+23×721=216313×13+23×421=156323×121=26323×221=46323×121=2631\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}X&1&2&3&4&5&6&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\begin{gathered}\frac13\times\frac13\\+\frac23\times\frac{6}{21}\\=\frac{19}{63}\end{gathered}&\begin{gathered}\frac13\times\frac13\\+\frac23\times\frac{7}{21}\\=\frac{21}{63}\end{gathered}&\begin{gathered}\frac13\times\frac13\\+\frac23\times\frac{4}{21}\\=\frac{15}{63}\end{gathered}&\begin{gathered}\frac23\times\frac{1}{21}\\=\frac{2}{63}\end{gathered}&\begin{gathered}\frac23\times\frac{2}{21}\\=\frac{4}{63}\end{gathered}&\begin{gathered}\frac23\times\frac{1}{21}\\=\frac{2}{63}\end{gathered}&1\end{array}

+5점 · X\displaystyle X의 기댓값을 정확히 구한 경우

▶ 따라서, X\displaystyle X의 기댓값은 다음과 같이 구할 수 있다.E(X)=1×1963+2×2163+3×1563+4×263+5×463+6×263=14663\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=1\times\frac{19}{63}+2\times\frac{21}{63}+3\times\frac{15}{63}+4\times\frac2{63}+5\times\frac4{63}+6\times\frac2{63}\\&=\frac{146}{63}\end{aligned}

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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