자연계열 4-2번

[문제 4-2]

(a) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$ 중에서 한 점, 가령 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 $\displaystyle x$축에 있거나 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$가 $\displaystyle x$축 반대편에 있는 경우 (그림 I, II 참고):$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}}\le\overline{\mathrm{AF}^{\prime}}+\overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}}=(\overline{\mathrm{FA}}+\overline{\mathrm{AF}^{\prime}})+(\overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{BF}})=2a+2a=4a$

(b) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$가 $\displaystyle x$축 한편에 있는 경우 (그림 III 참고): 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$ 중에서 $\displaystyle x$축에 더 가깝지 않은 점, 가령 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭 이동한 점을 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$이라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AA}^{\prime}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}<\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{H}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{FA}}=\overline{\mathrm{FA}^{\prime}}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AH}}^2+\overline{\mathrm{HB}}^2}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}^{\prime}}<\sqrt{\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{H}}^2+\overline{\mathrm{HB}}^2}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}^{\prime}}=\overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}^{\prime}}$여기서, $\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{FA}^{\prime}}$는 (a)의 관찰에 의해 $\displaystyle 4a$이하이다.

초점 $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}$을 지나고 $\displaystyle y$축과 평행한 직선과 타원의 두 교점을 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$로 잡으면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABF}$의 둘레가 $\displaystyle 4a$가 되므로 위 관찰 (a), (b)에 의해 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABF}$의 둘레의 최댓값은 $\displaystyle 4a=4\sqrt{10}$이어서 $\displaystyle a=\sqrt{10}$

+5점 · $\displaystyle \triangle\mathrm{PQF}=3\sqrt5$를 구하면

직선 $\displaystyle y=x+2$와 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$을 연립하여 얻은 이차방정식 $\displaystyle 4y^2-6y-9=0$의 두 근은 $\displaystyle \alpha=\frac{3+3\sqrt5}{4}$, $\displaystyle \beta=\frac{3-3\sqrt5}{4}$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQF}=\frac12\cdot|\alpha-\beta|\cdot\overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=3\sqrt5$ (그림 V 참고)