자연계열 4번

구 $\displaystyle S$ 위의 점 $\displaystyle (a,b,c)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle 7$인 구 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=7^2$가 $\displaystyle xy$평면과 만나는 원 $\displaystyle C_1$의 방정식은 $\displaystyle z=0$을 대입하여 얻은 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=7^2-c^2$이다. 따라서 그 넓이는 $\displaystyle (7^2-c^2)\pi$이다. 마찬가지로 $\displaystyle C_2$, $\displaystyle C_3$의 넓이는 각각 $\displaystyle (7^2-a^2)\pi$, $\displaystyle (7^2-b^2)\pi$이므로 $\displaystyle \frac A\pi=147-(a^2+b^2+c^2)$

원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 구 $\displaystyle S$의 중심 $\displaystyle \mathrm{C}(3,4,5)$를 통과하는 직선은 구 $\displaystyle S$와 두 점에서 만나는데, 이 중 한 점은 구 $\displaystyle S$ 위의 점 중에서 원점과 가장 가까운 점이고 다른 한 점은 가장 먼 점이다. 이 두 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}<\overline{\mathrm{OQ}}$라 가정할 수 있다. 그러면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{50}-1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\sqrt{50}+1$이다.

$\displaystyle \sqrt{50}-1\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\le\sqrt{50}+1$이므로$\displaystyle 51-2\sqrt{50}\le a^2+b^2+c^2\le51+2\sqrt{50}$$\displaystyle 96-2\sqrt{50}\le147-(a^2+b^2+c^2)\le96+2\sqrt{50}$에서 $\displaystyle \frac A\pi$의 최솟값과 최댓값은 각각 $\displaystyle 96-2\sqrt{50}$, $\displaystyle 96+2\sqrt{50}$이고 그 합은 $\displaystyle 192$이다.

타원 $\displaystyle E$를 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이라 하고 그 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 잡자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABF}$의 둘레가 $\displaystyle 4a$ 이하임을 다음의 두 가지 경우로 나누어 관찰한다.

기울기가 $\displaystyle \sqrt3$인 두 접선 $\displaystyle y=\sqrt3x\pm\sqrt{30+b^2}$사이의 거리는 그림 IV에서 $\displaystyle 2\sqrt{30+b^2}\sin30^\circ=6$이므로 $\displaystyle b^2=6$, $\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}=2$

직선 $\displaystyle y=x+2$와 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$을 연립하여 얻은 이차방정식 $\displaystyle 4y^2-6y-9=0$의 두 근은 $\displaystyle \alpha=\frac{3+3\sqrt5}{4}$, $\displaystyle \beta=\frac{3-3\sqrt5}{4}$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQF}=\frac12\cdot|\alpha-\beta|\cdot\overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=3\sqrt5$ (그림 V 참고)