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경영경제계열 3번

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중앙대 2025학년도 모의 경영경제계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/gyeongyeong_3

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문제

다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

• 한 연구에 따르면 도시의 실업률과 사회적 불안 지수 간의 관계에 대해 다음과 같은 결과를 얻었다고 한다.

• 도시의 실업률이 a\displaystyle a(%)일 때, 연속확률변수인 사회적 불안 지수 X\displaystyle X는 다음의 확률밀도함수를 따른다. 단, a>0\displaystyle a>0이다.f(x)={x(a+1)(a+2)(0≤x<a+2)−xa(a+1)+2a(a+2≤x≤2a+2)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{x}{(a+1)(a+2)}&(0\le x<a+2)\\-\frac{x}{a(a+1)}+\frac2a&(a+2\le x\le2a+2)\end{cases}

[문제 3] 위의 연구 결과에 근거하여, 도시의 실업률이 a\displaystyle a(%)일 때 사회적 불안 지수의 예측값 k\displaystyle k는 사회적 불안 지수 X\displaystyle X가 k\displaystyle k보다 크거나 같을 확률이 34\displaystyle \frac34인 값으로 정하였다. 이때, k\displaystyle k가 2\displaystyle 2 이상이 되는 실업률의 최솟값을 구하시오. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

해설강의 준비중

중앙대 2025학년도 모의 경영경제계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2025mo/gyeongyeong_3

사회적 불안 지수의 확률밀도함수와 삼각형 OED
+5점 · f(x)\displaystyle f(x)의 그래프를 정확하게 표현하고 예측값 k\displaystyle k의 위치를 정확하게 판단한 경우

▶ 사회적 불안 지수의 확률밀도함수를 위의 그래프로 나타낼 수 있다. 그래프와 x\displaystyle x축이 이루는 삼각형의 세 꼭짓점을 각각 O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(a+2,1a+1)\displaystyle A\left(a+2,\frac1{a+1}\right), B(2a+2,0)\displaystyle B(2a+2,0)라 하고, A\displaystyle A에서 OB‾\displaystyle \overline{OB}에 내린 수선의 발을 C(a+2,0)\displaystyle C(a+2,0)라 하자.

▶ 사회적 불안 지수의 예측값을 k\displaystyle k라 할 때 D(k,0)\displaystyle D(k,0), D\displaystyle D에서 OB‾\displaystyle \overline{OB}에 수직으로 그은 직선이 OA‾\displaystyle \overline{OA}와 만나는 점을 E\displaystyle E라 하자. 문제의 조건에 의해 k\displaystyle k는 P(X≥k)=34\displaystyle P(X\ge k)=\frac34을 만족해야 한다.

▶ OC‾=a+2\displaystyle \overline{OC}=a+2, CB‾=a\displaystyle \overline{CB}=a이므로 △ABC=a2a+2△OAB<12\displaystyle \triangle ABC=\frac a{2a+2}\triangle OAB<\frac12이다. 이때 D\displaystyle D가 CB‾\displaystyle \overline{CB} 위에 있다면 P(X≥k)=∫k2a+2f(x)dx≤∫a+22a+2f(x)dx=△ABC<12\displaystyle P(X\ge k)=\int_k^{2a+2}f(x)dx\le\int_{a+2}^{2a+2}f(x)dx=\triangle ABC<\frac12이므로, D\displaystyle D는 반드시 OC‾\displaystyle \overline{OC} 위에 있어야 한다.

+10점 · 적분을 통해 예측값 k\displaystyle k를 실업률 a\displaystyle a에 대해 올바르게 표현한 경우

▶ D\displaystyle D가 OC‾\displaystyle \overline{OC} 위에 있으므로, P(X<k)\displaystyle P(X<k)를 다음과 같이 적분으로 구할 수 있다.P(X<k)=∫0kx(a+1)(a+2)dx=[x22(a+1)(a+2)]0k=k22(a+1)(a+2)\displaystyle \begin{aligned}P(X<k)&=\int_0^k\frac{x}{(a+1)(a+2)}dx\\&=\Biggl[\frac{x^2}{2(a+1)(a+2)}\Biggr]_0^k\\&=\frac{k^2}{2(a+1)(a+2)}\end{aligned}

▶ 위의 식에 P(X<k)=1−P(X≥k)=14\displaystyle P(X<k)=1-P(X\ge k)=\frac14을 대입하여 다음과 같이 k\displaystyle k를 a\displaystyle a에 대하여 나타낼 수 있다.k22(a+1)(a+2)=14⇒k2=(a+1)(a+2)2⇒k=(a+1)(a+2)2(∵k≥0)\displaystyle \begin{aligned}&\frac{k^2}{2(a+1)(a+2)}=\frac14\\\Rightarrow&k^2=\frac{(a+1)(a+2)}2\\\Rightarrow&k=\sqrt{\frac{(a+1)(a+2)}2}\quad(\because k\ge0)\end{aligned}

+5점 · 이차부등식을 올바르게 표현하여 답을 정확하게 구한 경우

▶ 문제의 답을 구하기 위해서, k≥2\displaystyle k\ge2가 되는 a\displaystyle a의 최솟값을 찾아야 한다. 이는 다음과 같이 구할 수 있다.(a+1)(a+2)2≥2⇒(a+1)(a+2)≥8⇒a2+3a−6≥0⇒a≥−3+332 또는 a≤−3−332\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt{\frac{(a+1)(a+2)}2}\ge2\\\Rightarrow&(a+1)(a+2)\ge8\\\Rightarrow&a^2+3a-6\ge0\\\Rightarrow&a\ge\frac{-3+\sqrt{33}}2\text{ 또는 }a\le\frac{-3-\sqrt{33}}2\end{aligned}

▶ a>0\displaystyle a>0이므로 구하는 답은 −3+332\displaystyle \frac{-3+\sqrt{33}}2이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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