중앙대 2025학년도 수시 자연계열 1교시 2-2번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라고 하면 일반항과 수열의 합의 관계는 다음과 같다. $\displaystyle a_1=S_1,\quad a_n=S_n-S_{n-1}\;(n\ge2)$

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

[문제 2-2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$ 에서 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}-x^2\cos(\pi x)&(-1\le x<0)\\x^2\cos(\pi x)&(0\le x\le1)\end{cases}$ 이고, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac12f(x-2)-\frac32$ 을 만족시킨다. 이때, 정적분 $\displaystyle \int_{-4}^{-1}f(x)dx$ 의 값을 구하시오. [15점]

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[문제 2-2]

+5점 · 각 구간에서 함수의 형태를 바르게 구하면

$\displaystyle f(x)=\frac12f(x-2)-\frac32$ 이므로 $\displaystyle f(x-2)=2f(x)+3$ 즉, $\displaystyle f(x)=2f(x+2)+3=4f(x+4)+9$ 이다.따라서, $\displaystyle -4\le x<-3$ 일 때, $\displaystyle f(x)=4(x+4)^2\cos(\pi(x+4))+9$ 이고, $\displaystyle -3\le x<-2$ 일 때, $\displaystyle f(x)=-2(x+2)^2\cos(\pi(x+2))+3$ , $\displaystyle -2\le x<-1$ 일 때, $\displaystyle f(x)=2(x+2)^2\cos(\pi(x+2))+3$ 이다.

+5점 · 적분식을 계산하여

\displaystyle (*)=4\int_0^1x^2\cos\pi x\,dx+15

를 바르게 얻으면

구하는 정적분을 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{-4}^{-1}f(x)dx&=4\int_{-4}^{-3}(x+4)^2\cos\pi(x+4)dx-2\int_{-3}^{-2}(x+2)^2\cos\pi(x+2)dx+2\int_{-2}^{-1}(x+2)^2\cos\pi(x+2)dx+15\\&=4\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx-2\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx+2\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx+15\\&=4\int_0^1x^2\cos\pi x\,dx+15\quad\cdots(*)\end{aligned}$ 로 정리할 수 있다.

+5점 · 부정적분

\displaystyle \int x^2\cos\pi x\,dx=\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^3}\sin\pi x+C

를 바르게 계산하여 정답

\displaystyle -\frac8{\pi^2}+15

를 얻으면

주어진 제시문의 부분적분에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}\int x^2\cos\pi x\,dx&=\frac1\pi x^2\sin\pi x-\frac2\pi\int x\sin\pi x\,dx=\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^2}\int\cos\pi x\,dx\\&=\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^3}\sin\pi x+C\end{aligned}$ 이다. 따라서, $\displaystyle (*)=4\Biggl[\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^3}\sin\pi x\Biggr]_0^1+15=-\frac8{\pi^2}+15$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 2-2번

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