자연계열 1교시 2-1번

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo1_2_1

[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라고 하면 일반항과 수열의 합의 관계는 다음과 같다. $\displaystyle a_1=S_1,\quad a_n=S_n-S_{n-1}\;(n\ge2)$

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

[문제 2-1] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합 $\displaystyle S_n$ 이 다음을 만족시킬 때, $\displaystyle a_1$ 을 구하시오. [10점](가) $\displaystyle S_n=\begin{cases}\frac12a_n-2&(n\text{이 짝수인 경우})\\2a_n+3&(n\text{이 3 이상인 홀수인 경우})\end{cases}$ (나) $\displaystyle S_8=2025$

해설강의 준비중

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo1_2_1

[문제 2-1]

+2점 ·

\displaystyle S_{2m+2}=-S_{2m+1}-4

혹은

\displaystyle S_{2m+1}=2S_{2m}-3

을 얻으면

제시문에서 주어진 식 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle (n\ge2)$ 를 이용하면 $\displaystyle n=2m+2$ $\displaystyle (m\ge0)$ 인 경우, $\displaystyle S_{2m+2}=\frac12(S_{2m+2}-S_{2m+1})-2$ , 즉, $\displaystyle S_{2m+2}=-S_{2m+1}-4$ 를 얻는다. $\displaystyle n=2m+1$ $\displaystyle (m\ge1)$ 인 경우, $\displaystyle S_{2m+1}=2(S_{2m+1}-S_{2m})+3$ , 즉, $\displaystyle S_{2m+1}=2S_{2m}-3$ 을 얻는다.

+5점 ·

\displaystyle S_{2m+2}=-2S_{2m}-1

을 얻으면

그러므로, $\displaystyle S_{2m+2}=-(2S_{2m}-3)-4=-2S_{2m}-1$ 이고, 반복하여 대입하면 $\displaystyle S_8=-2S_6-1=4S_4+1=-8S_2-3$ 를 얻는다.

+3점 · 모든 계산을 정확히 계산하여

\displaystyle a_1=\frac{499}2

를 얻으면

따라서, $\displaystyle S_2=-\frac{507}2$ 이고, $\displaystyle S_2=-S_1-4$ 를 이용하면, $\displaystyle S_1=a_1=\frac{499}2$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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