자연계열 1교시 2번

제시문에서 주어진 식 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle (n\ge2)$를 이용하면$\displaystyle n=2m+2$ $\displaystyle (m\ge0)$인 경우, $\displaystyle S_{2m+2}=\frac12(S_{2m+2}-S_{2m+1})-2$, 즉, $\displaystyle S_{2m+2}=-S_{2m+1}-4$를 얻는다.$\displaystyle n=2m+1$ $\displaystyle (m\ge1)$인 경우, $\displaystyle S_{2m+1}=2(S_{2m+1}-S_{2m})+3$, 즉, $\displaystyle S_{2m+1}=2S_{2m}-3$을 얻는다.

그러므로, $\displaystyle S_{2m+2}=-(2S_{2m}-3)-4=-2S_{2m}-1$이고, 반복하여 대입하면$\displaystyle S_8=-2S_6-1=4S_4+1=-8S_2-3$를 얻는다.

따라서, $\displaystyle S_2=-\frac{507}2$이고, $\displaystyle S_2=-S_1-4$를 이용하면, $\displaystyle S_1=a_1=\frac{499}2$이다.

$\displaystyle f(x)=\frac12f(x-2)-\frac32$이므로 $\displaystyle f(x-2)=2f(x)+3$ 즉, $\displaystyle f(x)=2f(x+2)+3=4f(x+4)+9$이다.따라서, $\displaystyle -4\le x<-3$일 때, $\displaystyle f(x)=4(x+4)^2\cos(\pi(x+4))+9$이고,$\displaystyle -3\le x<-2$일 때, $\displaystyle f(x)=-2(x+2)^2\cos(\pi(x+2))+3$,$\displaystyle -2\le x<-1$일 때, $\displaystyle f(x)=2(x+2)^2\cos(\pi(x+2))+3$이다.

구하는 정적분을$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-4}^{-1}f(x)dx&=4\int_{-4}^{-3}(x+4)^2\cos\pi(x+4)dx-2\int_{-3}^{-2}(x+2)^2\cos\pi(x+2)dx+2\int_{-2}^{-1}(x+2)^2\cos\pi(x+2)dx+15\\&=4\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx-2\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx+2\int_0^1x^2\cos(\pi x)dx+15\\&=4\int_0^1x^2\cos\pi x\,dx+15\quad\cdots(*)\end{aligned}$로 정리할 수 있다.

주어진 제시문의 부분적분에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\int x^2\cos\pi x\,dx&=\frac1\pi x^2\sin\pi x-\frac2\pi\int x\sin\pi x\,dx=\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^2}\int\cos\pi x\,dx\\&=\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^3}\sin\pi x+C\end{aligned}$이다. 따라서,$\displaystyle (*)=4\Biggl[\frac1\pi x^2\sin\pi x+\frac2{\pi^2}x\cos\pi x-\frac2{\pi^3}\sin\pi x\Biggr]_0^1+15=-\frac8{\pi^2}+15$이다.