중앙대 2026학년도 모의 자연계열 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$

[문제 2-1] 정수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac13x^3+ax^2+4bx$ 로 정의된 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족할 때, $\displaystyle f(1)$ 의 가능한 값을 모두 구하시오. [10점]

(가) $\displaystyle -3\le a\le3$ , $\displaystyle 0\le b\le3$ 이다.

(나) $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 합은 12이다.

중앙대 2026학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026mo/jayeon_2_1

[문제 2-1]

+3점 · 근과 계수의 관계

\displaystyle \alpha+\beta=-2a

,

\displaystyle \alpha\beta=4b

를 구하면

$\displaystyle f(x)$ 를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2+2ax+4b$ 를 얻는다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2+2ax+4b=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle (\alpha<\beta)$ , $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극대, $\displaystyle x=\beta$ 에서 극소를 갖는다. 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha+\beta=-2a$ , $\displaystyle \alpha\beta=4b$ 를 얻는다.

+4점 ·

\displaystyle a^3-6ab-9=0

를 구하면

극댓값 $\displaystyle f(\alpha)=\frac13\alpha^3+a\alpha^2+4b\alpha$ , 극솟값 $\displaystyle f(\beta)=\frac13\beta^3+a\beta^2+4b\beta$ 이므로, $\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)=\frac13(\alpha^3+\beta^3)+a(\alpha^2+\beta^2)+4b(\alpha+\beta)=12$ 를 얻는다. $\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ , $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ 이므로 위의 식을 정리하면 $\displaystyle a^3-6ab-9=0$ 을 얻는다.

$\displaystyle b=0$ 일 때, $\displaystyle a^3=9$ 이므로 가능한 정수 $\displaystyle a$ 는 없다.

$\displaystyle b=1$ 일 때, $\displaystyle a^3-6a-9=(a-3)(a^2+3a+3)=0$ 이므로, $\displaystyle a=3$ ,

$\displaystyle b=2$ 일 때, $\displaystyle a^3-12a-9=(a+3)(a^2-3a-3)=0$ 이므로, $\displaystyle a=-3$ 이다.

$\displaystyle b=3$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2+2ax+4b=0$ 에서 주어진 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle D/4=a^2-4b\le0$ 이므로 극대와 극소가 존재하지 않는다.

+3점 ·

\displaystyle f(1)=\frac{22}3

또는

\displaystyle \frac{16}3

를 구하면

따라서, $\displaystyle f(x)=\frac13x^3+3x^2+4x$ 또는 $\displaystyle \frac13x^3-3x^2+8x$ 이고, $\displaystyle f(1)=\frac{22}3$ 또는 $\displaystyle \frac{16}3$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점 부여 가능함.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 2-1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개