자연계열 1번

예를 들어 손을 든 학생이 3명이면, 그들의 자리를 고르는 방법은 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3}$가지이다.성별 순서가 ●▲●이면 남은 세 자리에 남학생 1명과 여학생 2명을 배치하므로 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{1}$가지이고,▲●▲이면 남학생 2명과 여학생 1명을 배치하므로 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}={}_{3}\mathrm{C}_{1}$가지이다.따라서 이 경우의 수는 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3}\times2\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}=120$이다.

같은 방법으로 손을 든 학생 수에 따라 경우의 수를 구하면 다음과 같다.각 식은 손을 든 자리 선택 × 시작 성별 선택 × 남은 학생 배치의 순서로 나타내며, 한 가지뿐인 선택도 1로 표시한다.아무도 손을 들지 않으면 시작 성별을 정할 필요가 없으므로 그 인수를 1로 둔다.손을 든 학생이 5명 또는 6명이면 시작 성별을 정한 뒤 남은 배치는 한 가지뿐이다.

따라서 전체 경우의 수는$\displaystyle 20+120+180+120+60+12+2=514$이다.

이제 남학생이 2명 이상 손을 든 경우를 센다.손을 든 학생이 4명 이상이면 성별이 번갈아 나타나므로 남학생이 반드시 2명 이상 포함된다.손을 든 학생이 3명이면 ●▲●인 경우만 해당하므로, 성별을 맞바꾸는 대칭성에 의해 120가지의 절반인 60가지이다.손을 든 학생이 2명 이하이면 남학생 2명이 손을 들 수 없다.따라서 조건을 만족하는 경우의 수는$\displaystyle 60+12+2+60=134$이다.

따라서 구하는 확률은$\displaystyle \dfrac{134}{514}=\dfrac{67}{257}$이다.