자연계열 2번

$\displaystyle f(x)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2+2ax+4b$를 얻는다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2+2ax+4b=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면 $\displaystyle (\alpha<\beta)$, $\displaystyle x=\alpha$에서 극대, $\displaystyle x=\beta$에서 극소를 갖는다. 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha+\beta=-2a$, $\displaystyle \alpha\beta=4b$를 얻는다.

극댓값 $\displaystyle f(\alpha)=\frac13\alpha^3+a\alpha^2+4b\alpha$, 극솟값 $\displaystyle f(\beta)=\frac13\beta^3+a\beta^2+4b\beta$이므로, $\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)=\frac13(\alpha^3+\beta^3)+a(\alpha^2+\beta^2)+4b(\alpha+\beta)=12$를 얻는다. $\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$, $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$이므로 위의 식을 정리하면 $\displaystyle a^3-6ab-9=0$을 얻는다.

따라서, $\displaystyle f(x)=\frac13x^3+3x^2+4x$ 또는 $\displaystyle \frac13x^3-3x^2+8x$이고, $\displaystyle f(1)=\frac{22}3$ 또는 $\displaystyle \frac{16}3$이다.

주어진 식에 의하여 구간 $\displaystyle [2026,2028]$에서 $\displaystyle f(x)=2^{1013}(x-2026)\sin\pi(x-2026)$이다.

절댓값 함수의 부호가 바뀌는 점은 $\displaystyle \sin\pi x=\frac12$이므로, $\displaystyle x=\frac16$, $\displaystyle \frac56$이다.따라서, $\displaystyle S=2^{1012}\left(\int_0^{\frac16}(x-2x\sin\pi x)dx+\int_{\frac56}^1(x-2x\sin\pi x)dx+\int_{\frac16}^{\frac56}(2x\sin\pi x-x)dx\right)$ …(*)

부정적분 $\displaystyle \int x\sin\pi x\,dx=-\frac1\pi x\cos\pi x+\frac1{\pi^2}\sin\pi x+C$이고, 치환적분에 의해$\displaystyle \int_{\frac56}^1(x-2x\sin\pi x)dx=\int_0^{\frac16}(1-x)-2(1-x)\sin\pi x\,dx$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}S&=2^{1012}\left(\int_0^{\frac16}1-2\sin\pi x\,dx+\int_{\frac16}^{\frac56}2x\sin\pi x-x\,dx\right)\\&=2^{1012}\left\{\Biggl[x+\frac2\pi\cos\pi x\Biggr]_0^{\frac16}+\Biggl[-\frac2\pi x\cos\pi x+\frac2{\pi^2}\sin\pi x-\frac{x^2}2\Biggr]_{\frac16}^{\frac56}\right\}\\&=2^{1012}\left(\frac16+\frac{\sqrt3}\pi-\frac2\pi+\frac{\sqrt3}\pi-\frac13\right)=2^{1012}\left(-\frac16-\frac2\pi+\frac{2\sqrt3}\pi\right)\end{aligned}$이다.따라서, $\displaystyle p=-\frac16$, $\displaystyle q=-2$, $\displaystyle r=2$이다.