수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1교시 4-1번

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 4-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_4_1

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[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 두 벡터 u⃗\displaystyle \vec u, v⃗\displaystyle \vec v의 크기와 방향이 같을 때, 두 벡터 u⃗\displaystyle \vec u, v⃗\displaystyle \vec v는 서로 같다고 하고 기호로 u⃗=v⃗\displaystyle \vec u=\vec v와 같이 나타낸다.

● 두 벡터 p⃗\displaystyle \vec p, q⃗\displaystyle \vec q에 대하여 p⃗=OP→\displaystyle \vec p=\overrightarrow{\mathrm{OP}}, q⃗=OQ→\displaystyle \vec q=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}라고 하면 p⃗−q⃗=OP→−OQ→=QP→\displaystyle \vec p-\vec q=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QP}}이다.

● 중심이 C(a,b,c)\displaystyle \mathrm C(a,b,c)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 구의 방정식은 (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2이다.

[문제 4-1] 그림과 같이 한 점 O와 반지름의 길이가 1인 원 C\displaystyle C와 AB‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=5, BC‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6, CA‾=7\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=7인 삼각형 ABC가 한 평면 위에 있다. 두 점 P, Q가 원 C\displaystyle C위를 움직이고 두 점 R, S가 삼각형 ABC의 변 위를 움직인다. 같은 평면 위의 점 X가 OX→=PS→+RQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}를 만족시킬 때, 점 X가 존재하는 영역의 넓이를 구하시오. [15점]

원 C와 삼각형 ABC 및 점 O
해설강의 준비중

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 1교시 4-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo1_4_1

[문제 4-1]

삼각형 6개를 이어 붙인 육각형과 원 C′
육각형의 둘레에 붙인 직사각형과 부채꼴
+2점 · PS→+RQ→=RS→+PQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}를 찾으면

PS→+RQ→=OS→−OP→+OQ→−OR→=OQ→−OP→+OS→−OR→=PQ→+RS→=RS→+PQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}

+5점 · OY→=RS→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}를 만족시키는 점 Y가 육각형 I1I2I3I4I5I6\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6의 변 또는 그 내부의 임의의 점인 것을 진술하면

점 O를 한 꼭짓점으로 갖고 삼각형 ABC와 합동인 삼각형 6개를 그림과 같이 맞물리게 이어 붙여, 두 직선 AB와 I6I1\displaystyle \mathrm I_6\mathrm I_1이 평행하도록, 육각형 I1I2I3I4I5I6\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6을 만들자. OY→=RS→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}가 되도록 이 육각형의 변 또는 그 내부에서 점 Y를 잡을 수 있고, 역으로 이 육각형의 변 또는 그 내부의 임의의 점 Y에 대하여 OY→=RS→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}를 만족시키도록 두 점 R, S를 삼각형 ABC의 변 위에서 잡을 수 있다.

+3점 · YZ→=PQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}를 만족시키는 점 Z가 원 C′\displaystyle C^{\prime}과 그 내부의 임의의 점인 것을 진술하면

육각형 I1I2I3I4I5I6\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6의 변 또는 그 내부의 점 Y를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원 C′\displaystyle C^{\prime}을 생각하자. YZ→=PQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}가 되도록 원 C′\displaystyle C^{\prime}과 그 내부에서 점 Z를 잡을 수 있고, 역으로 원 C′\displaystyle C^{\prime}과 그 내부의 임의의 점 Z에 대하여 YZ→=PQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}를 만족시키도록 두 점 P, Q를 원 C\displaystyle C위에서 잡을 수 있다.

OX→=PS→+RQ→=RS→+PQ→=OY→+YZ→=OZ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OY}}+\overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{OZ}}이므로 점 X가 존재하는 영역은, 6개의 직사각형 IiKiJi+1Ii+1\displaystyle \mathrm I_i\mathrm K_i\mathrm J_{i+1}\mathrm I_{i+1} (i=1,2,⋯ ,6)\displaystyle (i=1,2,\cdots,6)과 6개의 부채꼴 IiJiKi\displaystyle \mathrm I_i\mathrm J_i\mathrm K_i를 육각형 I1I2I3I4I5I6\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6의 둘레에 그림과 같이 이어 붙여 얻은 영역이다. 여기서 I7=I1\displaystyle \mathrm I_7=\mathrm I_1, J7=J1\displaystyle \mathrm J_7=\mathrm J_1로 간주하고 IiJi‾=2\displaystyle \overline{\mathrm I_i\mathrm J_i}=2이다. 6개의 직사각형의 넓이의 합은 2×2×(5+6+7)=72\displaystyle 2\times2\times(5+6+7)=72이다.

삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해 cos⁡∠ABC=15\displaystyle \cos\angle\mathrm{ABC}=\frac15이어서 sin⁡∠ABC=265\displaystyle \sin\angle\mathrm{ABC}=\frac{2\sqrt6}5이고 △ABC=66\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=6\sqrt6이다.따라서 육각형 I1I2I3I4I5I6\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6의 넓이는 366\displaystyle 36\sqrt6이다. 6개의 부채꼴의 중심각의 합은 2π\displaystyle 2\pi이므로 그 넓이의 합은 4π\displaystyle 4\pi이다.

+5점 · 점 X가 존재하는 영역의 넓이 72+366+4π\displaystyle 72+36\sqrt6+4\pi를 구하면

따라서 점 X가 존재하는 영역의 넓이는 72+366+4π\displaystyle 72+36\sqrt6+4\pi이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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