자연계열 1교시 4번

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

점 O를 한 꼭짓점으로 갖고 삼각형 ABC와 합동인 삼각형 6개를 그림과 같이 맞물리게 이어 붙여, 두 직선 AB와 $\displaystyle \mathrm I_6\mathrm I_1$이 평행하도록, 육각형 $\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6$을 만들자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}$가 되도록 이 육각형의 변 또는 그 내부에서 점 Y를 잡을 수 있고, 역으로 이 육각형의 변 또는 그 내부의 임의의 점 Y에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}$를 만족시키도록 두 점 R, S를 삼각형 ABC의 변 위에서 잡을 수 있다.

육각형 $\displaystyle \mathrm I_1\mathrm I_2\mathrm I_3\mathrm I_4\mathrm I_5\mathrm I_6$의 변 또는 그 내부의 점 Y를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원 $\displaystyle C^{\prime}$을 생각하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$가 되도록 원 $\displaystyle C^{\prime}$과 그 내부에서 점 Z를 잡을 수 있고, 역으로 원 $\displaystyle C^{\prime}$과 그 내부의 임의의 점 Z에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$를 만족시키도록 두 점 P, Q를 원 $\displaystyle C$위에서 잡을 수 있다.

따라서 점 X가 존재하는 영역의 넓이는 $\displaystyle 72+36\sqrt6+4\pi$이다.

구 $\displaystyle S$의 중심을 O라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OT}}=5\sqrt5$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=\sqrt{\overline{\mathrm{OT}}^2-\overline{\mathrm{OP}}^2}=5$이다. (그림과 같이 구 $\displaystyle S$는 평면 OPT와 원에서 만나고 직선 PT는 점 P에서 이 원에 접한다.) 점 P에서 직선 OT에 내린 수선의 발을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle 50=2\times\triangle\mathrm{OPT}=\overline{\mathrm{OT}}\times\overline{\mathrm{DP}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}=2\sqrt5$를 얻는다. 따라서 점 P는, 직선 OT에 수직이고 중심이 점 D이고 반지름이 $\displaystyle 2\sqrt5$인 원 $\displaystyle C$위에 있다. 원 $\displaystyle C$가 $\displaystyle xy$평면과 만나는 두 점을 A, B라 하면, 점 P가 나타내는 도형은, 선분 AB를 포함하는 부채꼴 ADB의 호 AB이다.

두 삼각형 OPT와 ODP는 닮았으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}:\overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm{DP}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=4\sqrt5$를 얻는다.

점 D는 선분 OT를 $\displaystyle 4:1$로 내분하므로 그 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{8\sqrt5}{15},\frac{56\sqrt5}{15},\frac{4\sqrt5}3\right)$이다. 점 D에서 $\displaystyle xy$평면에 내린 수선의 발을 H라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}}=\frac{4\sqrt5}3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}=\sqrt{\overline{\mathrm{OD}}^2-\overline{\mathrm{DH}}^2}=\frac{8\sqrt{10}}3$이다.

선분 AB의 중점을 I라 하면, 닮은 두 직각삼각형 ODH와 OID에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}:\overline{\mathrm{DH}}=\overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm{ID}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{ID}}=\sqrt{10}$이고, 두 직각삼각형 AID와 BID에서 $\displaystyle \cos\angle\mathrm{ADI}=\cos\angle BDI=\frac1{\sqrt2}$이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{ADI}+\angle\mathrm{BDI}=\frac\pi2$이고 호 AB의 길이 $\displaystyle l$은$\displaystyle l=\overline{\mathrm{AD}}\times\frac\pi2=\sqrt5\pi$이다.