의예과 1번

<문제 1> 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x\ge 0$ 인 범위에서 다음 조건을 만족한다.$\displaystyle ①\ f(x)\ge 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$$\displaystyle ②\ f^{\prime\prime}(x)$가 존재하고 연속이며 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)\ge f(x)$

이 때 다음이 성립함을 설명하시오.

(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f^{\prime}(x)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le 0$

(2) $\displaystyle f(x)\le f(0)e^{-x}$　[힌트: 함수 $\displaystyle g(x)=e^{-x}(f^{\prime}(x)+f(x))$를 미분]