논술 그론월 부등식

그론월 부등식(Gronwall's inequality)도함수를 함수 자신으로 눌러 두면 그 함수는 지수함수보다 빨리 자랄 수 없다는 것이다. 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 미분가능한 $\displaystyle u$가 어떤 상수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle u^{\prime}(x)\le k\,u(x)$를 만족하면 다음이 성립한다.$\displaystyle u(x)\le u(0)e^{kx}$부등식을 그대로 적분해서는 얻어지지 않고, 양변에 $\displaystyle e^{-kx}$를 곱해 감소하는 함수를 하나 만들어 내는 것이 요령이다. 곱의 미분법으로$\displaystyle \left(e^{-kx}u(x)\right)^{\prime}=e^{-kx}\left(u^{\prime}(x)-k\,u(x)\right)\le0$이므로 $\displaystyle e^{-kx}u(x)$는 감소하고, 따라서 $\displaystyle x\ge0$에서 $\displaystyle e^{-kx}u(x)\le u(0)$이다. 이때 곱해 준 $\displaystyle e^{-kx}$를 적분인자(integrating factor)라 한다. 상수 $\displaystyle k$를 함수 $\displaystyle \beta(x)$로 바꾸어도 적분인자만 다시 잡으면 같은 방법이 그대로 통한다.$\displaystyle u^{\prime}(x)\le\beta(x)u(x)\ \Rightarrow\ u(x)\le u(0)\exp\left(\int_{0}^{x}\beta(t)\,dt\right)$미분방정식의 해가 하나뿐임을 보이거나 근사해의 오차를 재는 데 쓰는 도구이지만, 도함수에 대한 조건만 부등식으로 주어진 함수의 크기를 재는 자리라면 고등학교 범위에서도 그대로 쓸 수 있다.〔Thomas H. Gronwall, 「Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations」, 『Annals of Mathematics』 20-2 (1919), pp. 292~296. 적분 형태로 다시 쓴 것은 Richard Bellman, 「The stability of solutions of linear differential equations」, 『Duke Mathematical Journal』 10-4 (1943), pp. 643~647.〕